Wie löse ich komplexe LGS?

Question

Hallo,

ich habe diese zwei Gleichungen gegeben, und muss nun \(z_1\) und \(z_2\) lösen.
Die Gleichungen lauten: \(z_1\) + \(z_2\) = 1,
                                    (1+i)\(z_1\)-i\(z_2\) = 0

Die erste Gleichung kann ich entweder nach \(z_1\) oder \(z_2\) auflösen und diese in die untere einsetzen, doch da kommt nichts sinnvollen bei raus.

Freue mich auf Hilfe oder Tips.
Dankeschön.

Answer 1

Hallo,

komplexe LGS löst man genau wie reelle LGS, z.B mit dem Gaußverfahren oder Einsetzungsverfahren.

Ich nehm das Einsetzungsverfahren:

I z1 + z2 = 1 → z1 = 1-z2, in II einsetzen

II (1+i)z1 -i z2 = 0

(1+i)(1-z2) - i z2 =0

1+i -(1+i)z2 - iz2 =0

(-1-2i)z2 =-1-i

z2 = (-1-i)/(-1-2i)=  1/5 (3-i)

z1 = 1-1/5 (3-i) = 1/5 (2+i)

Answer 2

doch da kommt nichts sinnvollen bei raus. Doch:

           \(     (1+i)*z_1-i*(1-z_1  )  = 0   \)

<=>    \(    z_1+i*z_1  -i +i*z_1   = 0  \)

<=>    \(    z_1+2i*z_1  -i  = 0  \)

<=>    \(    z_1*(1+2i)   = i  \)

<=>    \(    z_1 = \frac{i}{1+2i} =  \frac{5-2i}{5} \)