Es gilt:
K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t
Dabei ist
K ( 0 ) : Kapital zum Zeitpunkt 0 (Anfangskapital)
K ( t ) : Kapital nach t Zinsperioden
t : Anzahl der zinsperioden
p : Zinssatz (bei einem Zins von z.B. 5 % gilt p = 0,05)
a)
Gesucht ist p, also Auflösen der oben genannten Formel nach p:
K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t
<=> K ( t ) / K ( 0 ) = ( 1 + p ) t
<=> 1 + p = t √ ( K ( t ) / K ( 0 ) )
<=> p = t √ ( K ( t ) / K ( 0 ) ) - 1
Vorliegend also:
p = 9 √ ( 95000 / 60000 ) - 1 = 0,0524 (gerundet)
Der durchschnitlliche Effektivzinssatz betrug also 5,24 %
b) Nun, bei zwei verschiedenen Zinssätzen muss die Formel zweimal angewendet werden.
Gesucht ist wieder p, und zwar so, dass gilt:
K ( 6 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) 6 und K ( 9 ) = K ( 6 ) * (1,03) 3
Setzt man die erste in die zweite Formel ein, so erhält man:
K ( 9 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) 6 * 1,03 3
Auflösen nach p ergibt:
<=> ( 1 + p ) 6 = K ( 9 ) / ( K ( 0 ) * 1,03 3 )
<=> p = 6 √ ( K ( 9 ) / ( K ( 0 ) * 1,03 3 ) ) - 1
Einsetzen der bekannten Werte:
p = 6 √ ( 95000 / ( 60000 * 1,03 3 ) ) - 1 = 0,0638 (gerundet)
In den ersten 6 Jahren betrug der Zinssatz also 6,38 %
c) Nun, bei einem durchschnittlichen Zinssatz von 6 % p.a. während 10 Jahren gilt für das Endkapital K ( 10 ):
K ( 10 ) = K ( 0 ) * 1,06 10
Das Kapital K ( 9 ) müsste also im zehnten Jahr mit einem solchen Zinssatz p verzinst werden, dass dieser Betrag erreicht oder überschritten wird. Es muss also gelten:
K ( 9 ) * ( 1 + p ) ≥ K ( 0 ) * 1,06 10
Auflösen nach p ergibt:
<=> p ≥ ( K ( 0 ) * 1,06 10 / K ( 9 ) ) - 1
Einsetzen der bekannten Werte:
p ≥ ( 60000 * 1,06 10 / 95000 ) ) - 1 = 0,1310 (gerundet).
Das Kapital müsste also im zehnten Jahr mit mindestens 13,1 % verzinst werden.
