Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen

Question

Aufgabe:

\( \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^{2}=-1 \)

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z ∈ C der Gleichung

Problem/Ansatz:

Kann mir da jemand helfen? Ich weiß nicht, wo ich anfangen soll. Ich würde das nach 0 umstellen und dann

den Bruch "auflösen" also das ich quasi im Nenner 1 habe.

Comments

Hallo, auf beiden Seiten die Wurzel ziehen ....

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Und was mach ich dann mit den 1+z/1-z ?

Answer 1

Text erkannt:

\( \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^{2}=-1 \)
\( \frac{(1+z)^{2}}{(1-z)^{2}}=-1 \)
\( (1+z)^{2}=-(1-z)^{2} \)
\( 1+2 z+z^{2}=-1+2 z-z^{2} \)
\( z^{2}=-1=i^{2} \)
\( z_{1}=i \)
\( z_{2}=-i \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Answer 2

Wenn das Quadrat -1 ergibt, dann wurde entweder i oder -i quadriert.

Comments

Kannst du mir das zeigen?

Answer 3

\( (\frac{1+z}{1-z})^{2}=-1 \)

Es gibt nur zwei komplexe Zahlen, deren Quadrat -1 ist, nämlich i und -i.

Also hast du

\( \frac{1+z}{1-z}=i    oder  \frac{1+z}{1-z}=-i   \)

<==> \( 1+z=i *(1-z)    oder 1+z=-i *(1-z) \)

<==> \( 1+z=i - i*z     oder 1+z=-i + i*z \)

<==> \( z +iz =  -1 + i   oder  z - iz =  -1  -i \)

<==> \( z*(1 +i)=  -1 + i oder z*(1  - i)=  -1  -i \)

<==> \( z = \frac{1+i}{1+i}  oder z=\frac{1-i}{-1-i} \)

<==> \( z = -i   oder z= i   \)

Answer 4

$$\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^{2}=-1 $$

Die Gleichung ist erfüllt für

Fall 1

$$\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=i $$

Aber auch für

Fall 2

$$\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=-i$$

Ich setze z =a+bi und beginne mit

Fall 1

$$1+a+bi=(1-a-bi)i $$$$1+a+bi=b+(1-a)i $$$$b=1+a$$$$b=1-a$$$$2b=2$$$$b=1 ; a=0$$

Fall 2
$$1+a+bi=(-1+a+bi)i $$$$1+a+bi=-b+(a-1)i $$$$-b=1+a$$$$b=a-1$$$$0=2a$$$$b=-1 ; a=0$$

$$z_1 = i ; z_2=-i$$