Stetigkeit im Punkt (0,0)

Question

Hallo Leute, und zwar bräuchte ich nochmal eure Hilfe.

Könnte mir bitte einer einmal zeigen, wie ich bei exp(x)y + z die Stetigkeit im Punkt(0,0) nachweise?

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Drei Variablen (x, y und z) im zweidimensionalen Koordinatensystem?

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R³ → R², (x, y, z) →   exp(x)y + z
                                 sin y/ (lxz| + 1)

Davon soll ich die Stetigkeit im Punkt 0 prüfen. Leider fehlt oben ein Teil, obwohl ich Ihn eingegeben habe

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Es geht dir also um die Stetigkeit im Punkt (0|0|0) ?

Und was sollen diese zwei Terme darstellen?

Eine abschnittsweise definierte Funktion?

Einen Bruch mit vergessenem Bruchstrich?

...?

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Ja, darum geht es mir :)

Um eine abschnittsweise definierte Funktion. Leider aber ohne bestimmte Grenzen.

In der orginal Aufgabenstellung steht das ganze noch in großen Klammern. aber ich weiß nicht, wie ich die hier einfüge

Answer 1

meinst du vielleicht einen zwei dimensionalen Vektor und keine abschnittsweise definierte Funktion? Denn, wenn es abschnittsweise definiert ist, passt der \( \mathbb{R}^2 \) nicht.

Du meinst wahrscheinlich

\( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \quad (x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix} e^xy+z \\ \frac{\sin(y)}{|xz|+1} \end{pmatrix} \),

oder?

Comments

so ist es. Sorry für die Verwirrung hier :(

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Kein Problem, kann passieren.

Wenn du also die Stetigkeit von

\(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \quad (x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix} e^xy+z \\ \frac{\sin(y)}{|xz|+1} \end{pmatrix} \)

im Punkt \( (0,0,0) \) zeigen willst, dann verwendest du dafür eine starke Aussage aus der mehrdimensionalen Analysis.

Diese lautet:

Eine Vektorfunktion ist genau dann stetig, wenn ihre Komponenten stetig sind.

Also statt den kompletten zweidimensionalen Vektor zu betrachten, kannst du

\( f_1(x,y,z) = e^xy+z \)

und

\( f_2(x,y,z) = \frac{\sin(y)}{|xz|+1} \)

jeweils einzeln auf Stetigkeit untersuchen. Hast du gezeigt, dass beide stetig sind, so folgt dann auch die Stetigkeit von \( f \).

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ok danke.

Könnte ich da x=y=z setzen bei f1 und den limes bilden? wenn der 0 ist, ist die Funktion stetig?

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So kompliziert musst du gar nicht vorgehen.

Mal etwas ganz allgemeines. Wenn du zwei stetige Funktionen \( g \) und \( h \) hast. Wie sieht es dann mit deren Komposition/Verknüpfung aus? Ist die auch stetig?

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ja, ist sie :)

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Damit kannst du dann auch argumentieren.

\(f_1\) ist eine Komposition stetiger Funktionen und daher auch überall stetig, insbesondere im Punkt \((0,0,0)\).

Auch \( f_2 \) ist eine Komposition stetiger Funktionen, jedoch muss man hier beim Nenner aufpassen, dass nicht \( |xz| + 1 = 0 \) ist. Dies ist aber gar nicht möglich, weil immer \( |xz| \geq 0 \ \forall x,z \in \mathbb{R} \) gilt und deshalb \( |xz| + 1 \geq 0 + 1 = 1\).

Also sind \(f_1\) und \(f_2\) stetig, folglich dann auch \( f \) selbst.