Wie kommt man auf eine Diagonalmatrix?

Question

Aufgabe:

Wie muss \( k \in \mathbb{R} \) gewählt werden, damit das Matrizenprodukt \( \left(\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 0 & -7,5\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}-3 & k \\ 0 & 1\end{array}\right) \) eine
Diagonalmatrix ergibt?

Answer 1

Aloha :)

Diese Matrix-Multiplikation liefert wieder eine 2x2-Matrix. In der ersten Spalte der Ergebnis-Matrix wird kein \(k\) vorkommen, also schauen wir uns nur die zweite Spalte an:$$\binom{2}{0}\cdot k+\binom{5}{-7,5}\cdot1=\binom{2k+5}{-7,5}$$Damit die erste Komponente null wird, muss \(k=-2,5\) sein.

Wir machen zur Sicherheit die Probe:$$\begin{pmatrix}2 & 5\\0 & -7,5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3 & -2,5\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 & 0\\0 & -7,5\end{pmatrix}$$

Comments

-6	2k+5
0	-7,5

das sollte eine Matrix sein..

bekomme ich für die Multiplikation heraus, aber wie kommst du auf diesen Schritt?

\( \left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right) \cdot k+\left(\begin{array}{c}5 \\ -7,5\end{array}\right) \cdot 1=\left(\begin{array}{c}2 k+5 \\ -7,5\end{array}\right) \)

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Dieser Schritt ist genau derjenige, den man zur Berechnung der zweiten Spalte durchführen muss. Ich war zu faul auch die erste Spalte der Ergebnis-Matrix zu berechnen, weil darin \(k\) nicht vorkommt.

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Danke, bis dahin ist es nachvollziehbar. Wie kommst du nun darauf, dass k= -2,5 ist? Hast du dies auch mit einem zusätzlichen Schritt ausgerechnet?

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Bei einer 2x2-Diagonalmatrix muss das oberste Element in der zweiten Spalte (die wir ja explizit berechnet haben) gleich 0 sein:$$2k+5=0\implies2k=-5\implies k=-2,5$$

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Vielen Dank! :)

Answer 2

Ausmultiplizieren und die Nichtdiagonalelemente \( 0 \) setzen. Das ergibt eine Gleichung für \( k \).