Produkttopologie und Metrik

Question

ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, die ich für die Klausur lerne.

Seien (M₁, d₁) und (M₂, d₂) metrische Räume. Dann definieren wir eine Produktmetrik auf dem kartesischen Produkt M₁ × M₂ durch
                      d(x, y) = max{d₁(x₁, y₁), d₁(x₂, y₂)}    für x = (x₁, x₂), y = (y₁, y₂) ∈ M₁ × M₂.
(a) Zeigen Sie, dass es sich hierbei tatsächlich um eine Metrik handelt.
(b) Seien O₁ ⊂ M₁ und O₂ ⊂ M₂ offene Teilmengen. Zeigen Sie, dass O₁ × O₂ offen ist.
(c) Seien A₁ ⊂ M₁ und A₂ ⊂ M₂ abgeschlossene Teilmengen. Zeigen Sie, dass A₁ × A₂ abgeschlossen ist.

a) würde ich vielleicht ich hinkriegen, in dem ich die Eigenschaften von einer Metrik auf diese Aufgabe anwende (richtig?)

b) und c) fällt mir aber sehr schwer, da ich leider nicht gut in diesem Thema bin.

Ansatz für b) : Ich wähle ein a∈ O₁ × O_{2  und} ich weiß dann, dass es Radius r >0 existiert mit der Kreisscheibe K_r(a) ⊂ O₁ × O₂

Wäre das denn soweit richtig oder liege ich völlig daneben ansonsten weiß ich leider nicht mehr wie es weitergeht:(

Könntet ihr mir vielleicht auch wenn ansatzweise weiterhelfen ? Ich wäre echt sehr dankbar !

Grüße

Elanur

Answer 1

Bei der Def. heißt es sicher

statt     d(x, y) = max{d1(x1, y1), d1(x2, y2)}

richtig    d(x, y) = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)} .

zu b)   Seien O1 ⊂ M1 und O2 ⊂ M2 offene Teilmengen.

Um zu zeigen, dass O1 × O2 offen ist. muss es zu

jedem x∈ O1 × O2 ein ε>0 geben so dass für

alle y∈ M1 × M2 gilt d(x,y)<ε ==>    y ∈ O1 × O2.

Sei also x=(a,b) ∈ O1 × O2.

==>   a  ∈ O1   und b  ∈ O2

und weil O1 und O2 offen in M1 bzw. M2 sind gibt es

ein ε1 > 0 mit: Für alle y1 ∈ M1 gilt d(a,y1) <ε1 ==>  y1 ∈ O1   ##

und entsprechend gibt es

ein ε2 > 0 mit: Für alle y2 ∈ M2 gilt d(b,y2)<ε2 ==>  y2 ∈ O2   ###

Seien   nun ε= min (ε1 , ε2)     #      und y=(y1,y2) ∈ M1 x M2.

mit  d(x,y) <  ε  ==>   max{d1(a, y1), d2(b, y2)}<  ε

wegen # also auch

==>  d1(a, y1)}<  ε <  ε1  und  d2(b, y2)}<  ε < ε 2

und wegen ## und ###

==>    y1 ∈ O1 und   y2 ∈ O2

==>    y=(y1,y2) ∈ =O1 x O2.     q.e.d.

Comments

Danke Dir sehr, werde mir das anschauen gleich und versuchen zu verstehen.

Könntest Du vielleicht ein Tipp für c) geben bzw. ein Ansatz.