Aloha :)
Die Regel zur Integration einer Potenz von \(x\) lautet:$$x^r\mapsto\frac{x^{r+1}}{r+1}\quad;\quad r\ne-1$$Diese funktioniert leider nicht, wenn der Exponent \(r=-1\) ist, weil man ja durch \(0\) dividieren würde. Daher muss es für das Integral von \(\frac{1}{x}\) eine Sonderregel geben.
Wir brauchen also einen Term, dessen Ableitung gleich \(\frac{1}{x}\) ist. Zu seiner Bestimmung nutzen wir aus, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) und die Logarithmus-Funktion \(\ln(x)\) Umkehrfunktionen zueinander sind und daher ihre Wirkung gegenseitig aufheben. Es gilt daher:$$e^{\ln(x)}=x\quad\text{für alle }x>0$$Da beide Seiten identisch sind, haben auch beide Seiten die identische Ableitung. Links leiten wir mit Hilfe der Kettenregel ab, rechts kennen wir die Ableitung von \(x\):$$\underbrace{e^{\ln(x)}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\ln'(x)}_{\text{innere}}=1$$Wegen \(e^{\ln(x)}=x\) bedeutet dies:$$x\cdot\ln'(x)=1\quad\implies\quad\boxed{\ln'(x)=\frac{1}{x}}$$Das heißt, die Ableitung der Logarithmus-Funktion ist gleich \(\frac{1}{x}\). Umgekehrt ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung dann \(\ln(x)\) eine Stammfunktion zu \(\frac{1}{x}\).
