Fallunterscheidung- Für jede natürliche Zahl n ist 2n-1 +( -1)n ein Vielfaches von 4.

Question

ich verstehe nicht wie man diese Aufgabe lösen kann.

Aufgabe:

Lösen Sie durch Fallunterscheidung:

Für jede natürliche Zahl n ist 2n-1 +( -1)^n ein Vielfaches von 4.

Answer 1

1 Fall: n gerade, dann gilt (-1)^n = 1 also gilt

2n-1 +( -1)^n = 2n -1 + 1  = 2n . Und da n gerade ist, gibt es ein k∈ℕ

mit n=2k also 2n = 4k ==>  2n ist Vielfaches von 4 .

2 Fall: n gerade, dann gilt (-1)^n = -1 also gilt
2n-1 +( -1)^n = 2n -1 - 1  = 2n-2 . Und da n gerade ist, gibt es ein k∈ℕ

mit n=2k+1  also 2n-2  = 2(2k+1) - 2 = 4k ==>  2n-2 ist Vielfaches von 4 .