Aloha :)
Wir benötigen alle drei dritten Wurzeln von \(i\):$$\sqrt[3]{i}=\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2}\right)^{1/3}=\left[e^{i\left(\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi\right)}\right]^{1/3}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k}{3}\,\pi\right)}\quad;\quad k\in\mathbb Z$$Für \(k=0,1,2\) erhalten wir 3 unterschiedliche Lösungen. Damit ist nun:
$$z=\sqrt[3]i-1=\left\{\begin{array}{lcr}e^{i\pi/6}-1 &=&\left(\frac{\sqrt3}{2}-1\right)+\frac{1}{2}i \\e^{i5\pi/6}-1 &=&-\left(\frac{\sqrt3}{2}+1\right)+\frac{1}{2}i \\e^{i3\pi/2}-1 &=&-1-i \end{array}\right.$$
