Anfangswertproblem lösen DGL

Question

Lösen Sie das Anfangswertproblem
$$ y^{\prime}(x)=\frac{y(x)}{1+x^{2}}+2 x-1, \quad y(0)=0 $$

Komme bei der Aufgabe nicht weiter. Bitte um Lösungsansätze.

Answer 1

Hallo,

Lösung via Variation der Konstanten:

y'=y/(1+x^2) +2x-1

y'-y/(1+x^2) =2x-1

a) homogene DGL lösen: y'-y/(1-x^2)=0

dy/dx= y/(1-x^2)

dy/y= dx/(1-x^2) Trennung der Variablen

b)

yh= ......  Setze C1=C(x)

yp= C(x) *......

yp'= C'(x) *  ......+ C(x) ....

c)

Setzte yp und yp' in die DGL ein , wenn Du richtig gerechnet hast, kürzt sich C(x) heraus.

d)

C(x)=...

yp= C(x) *......

e)

y=yh +yp

f)Einsetzen der AWB y(0)=0 in die Lösung

Comments

Hallo,




ich habe hier ein Lösungsversuch mit Variation der Konstante:

\( y_{1} = C_{1} \cdot e^{-\arctan (x)} \)


und zu Teil 2

\( \int_{}^{} b(x) d x=-\int_{}^{} \frac{1}{1+y^2}  d x=-\arctan (x)+C \)


und nun alles in die allg. Formel für Variation der Konst.

\( \int(2 x-1) e^{-\arctan (x)}d x \cdot e^{-(-\arctan x)} \)


wie komm ich nun von hier auf die Lösung mit

\( y_{ges} = y_{1} + y_{2} =  c_{1}e^{\arctan x}+x^2+1\)?




und dann AWB einsetzen und man erhält C = -1

mfg

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wie kann ich das integrieren? implizite integration vielleicht? 2x-1 muss irgendwie rausfallen.

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(2x-1) *e^(-arctan(x))= 2x  *e^(arctan(x)) -e^(-arctan(x))

partiell Integrieren

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x^2 \(e^{-arctanx} -  \int -x^2 e^{-arctanx} \frac{1}{x^2+1} \)

das ist der linke teil. weiter komme ich nicht.

rechts ist einfacher:

\( \int -e^{-arctan(x)} dx = e^{-arctanx}(x^2+1) \)

das sieht mehr nach dem ergebnis aus.

und e^-arctanx kurütz sich dann raus da am ende noch ein *e^arctanx ist

mfg

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Hallo,

Der" Trick" besteht darin, das Integral ∫e^(-arctan(x)) dx nicht auszurechnen .Es kürzt sich weg, ohne Rechnung.

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jo vielen Dank!!!

Answer 2

Das ist eine lineare Differentialgleichung. Jede Lösung hat also die Form

        \(y(x) = y_h(x) + y_p(x)\)

wobei \(y_h\) jede Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung sein kann und \(y_p\) eine spezielle Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist.

Die Menge aller \(y_h\) kann mit Trennung der Variablen bestimmt werden.

Weil die inhomogene lineare Differentialgleichung die Ordnung 1 hat, kann ein \(y_p\) mit Variation der Konstanten gefunden werden.

Comments

Hallo,

ich habe hier ein Lösungsversuch mit Variation der Konstante:

\( y_{1} = C_{1} \cdot e^{-\arctan (x)} \)

und zu Teil 2

\( \int_{}^{} b(x) d x=-\int_{}^{} \frac{1}{1+y^2}  d x=-\arctan (x)+C \)

und nun alles in die allg. Formel für Variation der Konst.

\( \int(2 x+1) e^{-\arctan (x)}d x \cdot e^{-(-\arctan x)} \)

wie komm ich nun von hier auf die Lösung mit

\( y_{ges} = y_{1} + y_{2} =  c_{1}e^{\arctan x}+x^2+1\)?

und dann AWB einsetzen und man erhält C = -1

mfg

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kleine korrektur: sollte int (2x-1) e^... sein...