Ungerader Funktion auch ungerade Umkehrfunktion

Question

Aufgabe:

h ist eine Funktion A->B

Ich muss beweisen, dass wenn h injektiv und ungerade ist, die Umkehrfunktion auch ungerade ist.

Problem/Ansatz:

Das h injektiv ist, heißt ja eigentlich, dass sie Umkehrbar ist. Aber wie zeige ich, dass die Umkehrfunkltion auch ungerade ist?

Answer 1

Angenommen die Umkehrfunktion sei nicht ungerade, dann gibt es

ein y ≠ 0  mit  f^(-1)(-y) ≠ -f^(-1)(y).    #

==>     f (  f^(-1)(-y) ) = -y   und

 f ( -f^(-1)(y) =  -f ( f^(-1)(y) )  [ weil f ungerade ! ]

                     =  - y

Somit gibt es zwei verschiedene ( siehe # ) Werte , die

den gleichen Funktionswert haben. ==>   f nicht injektiv.

                          Widerspruch !