Matrizen Bildmenge prüfen

Question

Aufgabe:

Das ist eher eine generelle Frage:

Wie findet man heraus ob eine Matrix in der Bildmenge einer anderen matrix liegt? Z.b

A

-1	3	2
-1	-4	2

B

1

0

Liegt B in der Bildmenge von A?

Answer 1

Der Vektor v liegt im Bild der durch die Matrix M gegebenen linearen Abbildung, wenn die Gleichung

        M·x = v

lösbar ist.

Comments

Im meinen beispiel könnte man es nicht lösen oder? Weil spalten und zeilen nicht übereinstimmen?

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Im meinen beispiel könnte man es nicht lösen oder?

Sicher kann man das. Die Gleichung lautet $$\begin{pmatrix}-1& 3& 2\\ -1& -4& 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$$Und nach dem Gaußschen Algorithmus ergibt sich:$$\begin{array}{ccc|c}-1& 3& 2& 1\\ -1& -4& 2& 0\end{array} \\ \begin{array}{ccc|c}1& -3& -2& -1\\ 0& -7& 0& -1\end{array}$$Ich habe die erste Zeile mit \(-1\) multipliziert und das Ergebnis zur zweiten addiert. Aus der letzten Zeile folgt bereits $$y = \frac 17$$ Setze ich \(z=t\) folgt daraus weiter$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \frac 17 \begin{pmatrix}-4 \\ 1\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} t$$Dieser Vektor ist für jedes \(t \in \mathbb R\) eine Lösung des LGS und damit liegt \((1|\, 0)\) im Bild der Matrix.

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Danke, nur noch eine kurze frage, wenn man den kern a bestimmt ,muss dann gelten:

A*x=0?

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wenn man den kern a bestimmt ,muss dann gelten:
A*x=0?

Ja - alle Lösungen für \(x\) bilden den Kern der Matrix \(A\).