Bildmenge und deren Dimension bestimen, Surjektivität einer Abbildung

Question

Hallo :)
Ich habe zwei Abbildungen gegeben:

Abbildung a:

ℝ² → ℝ²
x ↦ \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \) x

Abbildung b:

ℝ² → ℝ³
x ↦ \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \) x

Wie kann man bei diesen Abbildungen die Bildmenge und die Dimension dieser bestimmen?
Wie kann man zeigen, ob die Abbildungen surjektiv sind oder nicht?
Leider habe ich hier keine Idee....

Vielen Dank schonmal.

Answer 1

bei a)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} *\vec{x}\)  ist da gemeint
Das gibt  \( \begin{pmatrix} 1*x1+0*x2 \\ 2*x1+0*x2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1*x1 \\ 2*x1 \end{pmatrix}  = x1*\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} \)
Also sind alle Elementes des Bildes Vielfache des Vektors

1
2

der bildet eine Basis des Bildes, also dim=1 und damit ist die Abb. nicht surjektiv.

bei b) sind alle Bildelemente Linearkombinationen der

beiden Spalten der Matrix. Die bilden eine Basis des Bildes,

also dim=2 auch nicht surjektiv..

Comments

Vielen Dank für die Antwort.
Dass alle Elemente des Bildes Vielfache vom Vektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} \) sein müssen, habe ich jetzt verstanden.
Woher sehe ich aber, dass die Dimension dadurch 1 ist?

Surjektiv ist die Abbildung nicht, weil das Bild die Dimension 1 hat, der Raum auf den Abgebildet wird aber die Dimension 2 hat oder?

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Wenn eine Menge von Vektoren alle Vielfache des gleichen von

0 verschiedenen Vektors sind, bildet der eine Basis für diesen

Unterraum und die Anzahl der Elemente einer Basis ist die Dimension.

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Wäre beispielsweise die Matrix bei a) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \) wäre dann die dann Dimension 2 ?
Dann wäre die Abbildung surjektiv oder?

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Ja, genau so ist es .