Aloha :)
1) Surjektivität von \(f_1\).
Sei \(y\in\mathbb R\) aus der Zielmenge beliebig gewählt:
a) Für \(y\ge0\) bildet \(f\) mit der Wahl \(x=y+1\ge0\) auf \(y\) ab: \(f(x=y+1)=y\)
b) Für \(y<0\) bildet \(f\) mit der Wahl \(x=y-1<0\) auf \(y\) ab: \(f(x=y-1)=y\)
Für jedes Element \(y\) aus der Zielmenge gibt es also ein \(x\) aus der Definitionsmenge, das auf \(y\) abbildet. Die Funktion ist daher surjektiv.
2) Injektivität von \(f_1\)
Wegen \(f(0)=-1\) und \(f(-2)=-1\) gibt es ein Element der Zielmenge, das mehr als 1-mal erreicht wird. Die Funktion ist daher nicht injektiv.
3) Surjektivität von \(f_2\).
Für \(x\ge0\) ist \(f(x)=-x-1=-(x+1)<=-1\).
Für \(x<0\) ist \(f(x)=-x+1=-(x-1)>1\).
Der Wert \(0\) aus der Zielmenge wird daher zum Beispiel nicht erreicht. Die Abbildung ist nicht surjektiv.
4) Injektivität von \(f_2\).
Seien \(a\) und \(b\) zwei Argumente mit demselbem Bild, dann gilt:
$$f(a)=f(b)\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}-(a+1)=-(b+1) &\text{falls} & f(a)\le-1\\-(a-1)=-(b-1) &\text{falls}& f(a)>1\end{array}\right\}$$$$\phantom{f(a)=f(b)}\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}a=b &\text{falls} & f(a)\le-1\\a=b &\text{falls}& f(a)>1\end{array}\right\}$$In beiden Fällen gibt es keine 2 Argumente, die auf dasselbe Bild abbilden. Die Funktion ist daher injektiv.
