Bestimmung einer expliziten Folge aus rekursiver Folge

Question

Folgende rekursive Folge ist gegeben und eine explizite Form soll bestimmt werden:

\(a_{1}:= \frac{1}{2} \), \(a_{n+1}:=\frac{a_{n}^{2}+1}{2a_{n}} \)

Ich habe die ersten Werte der Folge bestimmt:

a₁=2, a₂=5/4, a₃=41/40,

Dabei habe ich festgestellt, dass der Zähler immer gleich der Nenner +1 ist.

Allerdings finde ich keinen Term, der meinen Nenner beschreibt.

Comments

Vielleicht hilft folgendes weiter: Sei$$a_n = \frac{p_n}{q_n}, \quad q_n,\, p_n \in \mathbb N$$dann ist $$a_{n+1} = \frac{a_n^2  +1}{2a_n} = \frac{p_n^2 + q_n^2}{2p_nq_n}$$Mit \(a_2 = 5/4\) ist \(q_2=4\) und \(p_2=5=q_2+1\). Somit ist \(a_3\)$$a_3 = \frac{(q_2+1)^2 + q_2^2}{2q_2(q_2+1)} = \frac{2q_2(q_2+1) + 1}{2q_2(q_2+1)} = \frac{q_3+1}{q_3}$$Du hast das also richtig beobachtet, dass mit \(n \ge 2\) der Zähler immer um 1 größer ist als der Nenner ... und das bleibt dann auch so.

Jetzt ist folglich der Nenner $$\begin{aligned}q_{n+1} &= 2q_n(q_n + 1), \quad n \ge 2 \\ &\gt 2q_n^2 \end{aligned}$$Damit und mit \(q_2=4\) kann man den Nenner zumindest abschätzen:$$q_n \gt 2^{n-2} 4^{\left( 2^{n-2}\right)} $$Der geht also ziemlich durch die Decke um es vorsichtig auszudrücken.

Daher glaube ich nicht, dass man einen Ausdruck für einen rationalen Term findet. Eher könnte es sein, eine stetige(!?) Funktion \(f(x), \space x \in \mathbb R \) zu finden, für die $$f(n) = a_n, \quad n \in \mathbb N$$gilt.

Answer 1

Hallo,

es handelt sich hier um die rekursive Folge des Heron-Verfahrens, welche bekanntlich gegen √a konvergiert.

Nun gilt:

$$a_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{1}{2a_n}\cdot(a_n-\sqrt{a})^2$$

sowie

$$a_{n+1}+\sqrt{a}=\frac{1}{2a_n}\cdot(a_n+\sqrt{a})^2$$

Dividiert man Gleichung 1 durch Gleichung 2 erhält man:

$$\frac{a_{n+1}-\sqrt{a}}{a_{n+1}+\sqrt{a}}= \left[\frac{a_{n}-\sqrt{a}}{a_{n}+\sqrt{a}} \right]^2$$

Das ist eine Rekursion der Form B(n+1)=B(n)^2 , welche man auf das Startglied zurückführen kann:

$$\frac{a_{n}-\sqrt{a}}{a_{n}+\sqrt{a}}= \left[\frac{a_{1}-\sqrt{a}}{a_{1}+\sqrt{a}} \right]^{2^n}$$

Löse diese Gleichung nach a_n auf.

Comments

Tolle Antwort. Kleiner Tippfehler: der letzte Exponent muss 2ⁿ sein. Gibt es weiterführende Literatur?

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Hallo,

danke für den Hinweis mit dem Exponenten. Die Herleitung hatte ich auf dieser Seite gefunden:

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=42671

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Wenn man die Rechnungen für die gegebene Folge durchführt und durch 2 kürzt, erhält man als Nenner (ab dem zweiten Folgewert) den Term $$ q_{n+1}=\frac{1}{2}\left(3^{2^{n}}-1\right) $$