Zeigen Sie, dass durch f ∼ g :⇔ f(m) = g(m) eine Äquivalenzrelation auf der Menge Abb(Z, Z) definiert wird.

Question

Seien m und n zwei verschiedene ganze Zahlen.
(i) Zeigen Sie, dass durch f ∼ g :⇔ f(m) = g(m) eine Äquivalenzrelation auf der Menge
Abb(Z, Z) definiert wird.
(ii) Ist dies immernoch der Fall, wenn wir die Relation f∼ˆ g :⇔ f(m) = g(n) anstelle der
Relation ∼ betrachten?

Answer 1

Reflexivität. Sei $f\in \operatorname{Abb}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z})$. Dann ist $f(m) = f(m)$, also $f\sim f$.

Symmetrie. Seien $f,g\in \operatorname{Abb}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z})$ mit $f\sim g$. Dann ist $f(m) = g(m)$ und somit auch $g(m) = f(m)$, also $g\sim f$.

Transitivität. Seien $f,g,h\in \operatorname{Abb}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z})$ mit $f\sim g$ und $g\sim h$. Dann ist $f(m) = g(m)$ und $g(m) = h(m)$ somit auch $f(m) = h(m)$, also $f\sim h$.

Die Relation $\sim\hat{}$ ist keine Äquivalenzrelation, weil $f\sim\hat{}f$ mit $f(x) = x$ aufgrund der Injektivität von $f$ nicht gilt.