Anwendungsaufgabe Ebenen Vektoren

Question

Aufgabe:

Auf einer Dachfläche, die durch die Ebene E:x = (1/0/1) + s × (2/-1/1) + t × (3/1/2) beschrieben wird, steht im Punkt P (2/2/-2) ein Antennenmast der Länge 2 LE in x³ Richtung. Die Sonne fällt längs der Richtung v=(1/3/-3) ein.

A) Zeigen sie, dass P in E liegt und bestimmen sie die koordinaten der spitze S des Mastes.

B) Bestimmen Sie die Länge des schattens, den der Mast auf die Dachfläche wirft.

Problem/Ansatz:

Ist eine Übung für die Klausur aber ich verstehe sie nicht..

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... steht im Punkt P (2/2/-2) ein Antennenmast ...

sicher, dass das nicht P(2/2/+2) heißt?

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Ja sicher :)

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Ja sicher :)

Sicher heißt, dass das NICHT +2 heißt. Dann liegt \(P\) im Keller und nicht auf dem Dach.

(ich sollte keine Fragen mit 'nicht' drin stellen!)

Answer 1

Die Abbildung zeigt die Dachfläche E, die ja durch die Gleichung x = (1/0/1) + s × (2/-1/1) + t × (3/1/2) beschrieben wird.

A) Um zu zeigen, dass P in der Ebene liegt, muss das System

(1) 2=1+2s+3t

(2) 2=   -s+t

(3) -2=1+s+2t

eindeutig lösbar sein. Das ist es für t=1 und s= - 1.

Die Koordinaten der Spitze S des Mastes kann man bestimmen, da der Mast in x₃-Richtung verläuft: S(2|2|0).

B) PQ' sei der Schatten. Dann muss zunächst Q' als Schnittpunkt von E mit \( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} 1\\3\\-3 \end{pmatrix} \) bestimmt werden. Die Länge |\( \vec{PQ} \)| ist dann die Länge des Schattens.

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Danke für deine Antwort!

Answer 2

a)  einsetzen von P für x und dann s und t ausrechnen und

zeigen, dass die Gleichung stimmt.

==>  P liegt in E

Für die Spitze 2 zur 3. Koordinate von P addieren.

b) Gerade durch die Mastspitze mit Richtungsvektor v

bestimmen und mit E schnieden.

Die Länge vom Schnittpunkt zu P ist die

Schattenlänge.

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Danke für die schnelle Antwort!