Bestimmen Sie alle stationären Punkte

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle stationären Punkte folgender Funktionen und klassifizieren Sie diese (in lokales Minimum, lokales Maximum oder Sattelpunkt).

(a) ƒ: ℝ²→R, f(x₁,x₂)=x₁³−3x₁−x₂+4x₂

(b) ƒ: ℝ² →R, f(x₁,x₂)=sin(x₁)+cos(x₂)

(c) ƒ: ℝ³→R, f(x₁,x₂,x₃)=x₁² + x₂ + x₂x₃

Answer 1

Schau dir mal a) an. Ich vermute da einen fehler, weil man -x2+4x2 zu +3x2 zusammenfassen könnte. Vermutlich fehlt also ein Quadrat.

Weiterhin solltest du sagen, wo deine Probleme liegen. Du solltest die partiellen Ableitungen bilden können und diese gleich Null setzen können.

Und selbst wenn du da unsicher bist gibt es sehr gute Tools wie Wolframalpha oder Photomath die dich unterstützen können.

Comments

tatsächlich sollte es am ende heißen: x₂² + 4x₂

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bei der a) habe ich raus:

fx = 3x₁^2 -3

fy = -2x₂ + 4

fxx= 6x₁

fyy= -2

fxy= 0

dementsprechen Hesse-Matrix:

\( \begin{pmatrix} 6x.   0  \\0.    -2 \end{pmatrix} \)

aber wie mache ich jetzt weiter ?

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Du setzt die Ableitungen erster Ordnungen gleich Null und löst das entstehende Gleichungssystem. Sollte nur noch eine Unbekannte drin sein umso besser.

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ok, angenommen ich setzte fy=0 dann habe ich raus x2=2.

aber wo setzte ich es jetzt ein. die erste Funktion hat ja gar kein x2

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Hab ein Sattelpunkt im Punkt \( \begin{pmatrix} 1\\2\\ \end{pmatrix} \)

und ein lokales Maximum im Punkt \( \begin{pmatrix} -1\\2\\ \end{pmatrix} \)

ist das richtig?

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Das sieht ganz gut aus. Denke daran, dass du hier Punkte mit drei Koordinaten hast.

f(x, y) = x^3 - 3·x - y^2 + 4·y

f'(x, y) = [3·x^2 - 3, 4 - 2·y] = [0, 0] --> (x = -1 ∧ y = 2) ∨ (x = 1 ∧ y = 2)

f(-1, 2) = 6

f(1, 2) = 2

f''(-1, 2) = [-6, 0; 0, -2] → Hochpunkt (-1| 2 | 6)

f''(1, 2) = [6, 0; 0, -2] → Sattelpunkt (1| 2 | 2)

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Danke, dann bin ich schonmal auf dem richtigen weg.

Fehlt nur noch die b und c :D

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b) ist sicher am einfachsten. Bei Kenntnis der Trigonometrischen Funktionen brauchst du hier nicht mal ableiten.