reelle Zahlen und Intervalle

Question

Aufgabe:

Für beliebige reelle Zahlen a und b bezeichnet

[a,b] := {x∈ℝ | a ≤ x ∧ x ≤ b} das abgeschlossene Intervall,

(a,b):= {x∈ℝ | a< x ∧ x < b} das offene Intervall

[a,b):= {x∈ℝ | a ≤ x ∧ x < b} das rechts offene Intervall und

(a,b] := {x∈ℝ | a < x ∧ x ≤ b} das links offene Intervall

von a bis b

a) Bei welchen Anordnungen von vier reellen Zahlen a, b, c und d ist das abgeschlossene Intervall
[a,b] eine Teilmenge des offenen Intervalls (c,d)? Geben Sie alle Möglichkeiten dafür an.

b) Bei welchen Anordnungen von vier reellen Zahlen a, b, c und d ist der Schnitt [a,b) ∩ (c,d) die
leere Menge? Geben Sie alle Möglichkeiten dafür an.

c) Bestimmen Sie das Komplement des links offenen Intervalls (a,b] bzgl. der Grundmenge Ω = ℝ.

Problem/Ansatz:

Das ist eine Übungsaufgabe zur Klausur, nur leider stehe ich total auf dem Schlauch. Einige Ansätze habe ich aber verstehen tu ich es nicht wirklich. Ich würde mich über eine Erklärung zur Lösung der Aufgaben freuen.

Comments

a) Bei welchen Anordnungen von vier reellen Zahlen a, b, c und d ist das abgeschlossene Intervall [a, b] eine Teilmenge des offenen Intervalls (c, d)? Geben Sie alle Möglichkeiten dafür an.

Mir fällt da nur folgende Möglichkeit ein.

c < a ≤ b < d

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Mir fällt da nur folgende Möglichkeit ein

Sei nicht so phantasielos und denke z.B. auch an d ≤ b < a ≤ c und viele weitere Möglichkeiten.

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In obiger Definition soll doch gelten

[a, b] := {x ∈ ℝ | a ≤ x ∧ x ≤ b}

und damit gilt doch a ≤ b

Wenn man also schreibt a < b wäre das auch ok, weil damit das obige ja auch erfüllt ist aber ...

Warum darfst du dann b < a schreiben? Das würde doch bedeuten das in der Intervallangabe die rechte Zahl kleiner ist als die linke.

Answer 1

[a,b] eine Teilmenge des offenen Intervalls (c,d)?

Wenn beide Intervalle nicht leer sind, gibt es wohl nur die Möglichkeit

c < a ≤ b < d.

Nach eurer Definition sind aber ja alle offenen Intervalle (x,y) ,

bei denen y≤x ist, gleich der leeren Menge . Und die abgeschlossenen

Intervalle [x,y] mit  y<x auch .

Weil die leere Menge Teilmenge jeder anderen Menge ist,

gibt es noch die  Möglichkeit    d<c und b<a.