Weisen Sie nach, dass ... eine Basis sind.

Question

Aufgabe:

Weisen Sie nach, dass 1, x-1, (x-1)² eine Basis von ℝ₂[x] ist.

ℝ₂[x] := {p∈ℝ[x] | p(x) = a₂x²+a₁x+a₀, a₂, a₁, a₀ ∈ ℝ}

Hinweis:

Weisen Sie nach, dass 1, x-1, (x-1)² erzeugend und linear unabhängig sind.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

erzeugend:  Sei p(x) = ax^2 + bx + c

Zeige: Es gibt u,v,w mit p(x)= u*1  +v*(x-1) + w*(x-1)²

               ==>    p(x) =  u + vx - v  +  wx^2 - 2wx + w

==>     p(x) =    w *x^2 + (v- 2w) x + ( w + u  - v )

Koeffizientenvergleich zeigt: Das klappt mit

         w=a  ==>    v-2a = b also   v = b+2a

             und   w + u - v = c wird erfüllt wenn

                      a - (b+2a) + u = c also

                                 u =   c + a + b .

linear unabh.: Zeige ähnlich  u*1  +v*(x-1) + w*(x-1)²  = 0-Polynom

==>  u=v=w=0