Aufgabe: Zeige, dass keine Arbitragemöglichkeit existiert, d. h zeige dass kein Portfolio x existiert, sodass
$$ 1.\ <x,S_0>:= \sum \limits_{i=0}^{\infty} x_i \cdot S_0^i \leq 0 $$ $$ 2.\ <x,S_1>:= \sum \limits_{i=0}^{\infty} x_i \cdot S_1^i \geq 0 $$ P-fast sicher und $$ 3.\ P( <x,S_1> \gt 0)\gt0 $$
wobei Ω = {1,2,3,....}, P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω,P(Ω)) mit $$ P({\omega}) \gt \forall \omega\in\Omega $$
und der Zins r = 0, die Preise zu t=0 gegeben durch $$ S_0^i=1 \forall i=0,1,2,...$$, das heißt die Anzahl der Assets ist unendlich. Weiter soll
$$ S_1^i=\begin{cases} 0,\ falls\ \omega = i \\ 2,\ falls\ \omega = i+1\\ 1,\ sonst \end{cases} $$ und
$$ \sum \limits_{i=0}^{\infty} |x_i |\lt\infty $$
gegeben sein.
Problem/Ansatz:
Die Idee wäre jetzt für ein beliebiges, aber festes $$\omega$$ die ersten beiden Terme zum Widerspruch zu führen, das heißt
sei x ein Portfolio, dass 2. erfüllt, also soll gelten:
$$ <x,S_1>:= \sum \limits_{i=0}^{\infty} x_i \cdot S_1^i = 2\cdot x_{\omega -1}+\sum \limits_{i=0}^{\omega-2} x_i + \sum \limits_{i=\omega+1}^{\infty} x_i \geq 0 $$ P- fast sicher. Andererseits muss 1. ja auch gelten, also
$$ 1.\ <x,S_0>:= \sum \limits_{i=0}^{\infty} x_i \cdot S_0^i =\sum \limits_{i=0}^{\infty} x_i \leq 0 $$
Kann man daraus direkt einen Widerspruch ableiten, bzw. impliziert dass nicht, dass x=0 sein muss ?
