Anwendung der logarithmischen Differentiation

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=In x

a) berechnen sie die Steigung von f bei x=0,1, x=1, x=e, x=1000

b) geben sie die Stelle x an, bei der f die Steigung m=0,5 hat.

c) bestimmen sie die Gleichung der Tangente und der Normalen von f an der Stelle x=2

d) berechnen sie den Steigungswinkel von f im Punkt (e|1)

Problem/Ansatz:

Kann mir vielleicht jemand Helfen? Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du eigentlich nur die Ableitung bilden und dann dort einsetzen:$$f(x)=\ln(x)\quad\implies\quad f'(x)=\frac{1}{x}$$

a) berechnen sie die Steigung von f bei x=0,1, x=1, x=e, x=1000

$$f'(0,1)=10\quad;\quad f'(1)=1\quad;\quad f'(e)=\frac{1}{e}\quad;\quad f'(1000)=\frac{1}{1000}$$

b) geben sie die Stelle x an, bei der f die Steigung m=0,5 hat.

$$f'(x)\stackrel{!}{=}0,5\implies\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\implies x=2$$

c) bestimmen sie die Gleichung der Tangente und der Normalen von f an der Stelle x=2

Am Punkt \((2|\ln(2))\) hat die Funktion die Steigung \(m=f'(2)=\frac{1}{2}\). Die Gleichung der Tangente folgt aus der allemeinen Geradengleichung \(y=mx+b\) durch Einsetzen:$$\ln(2)=y=mx+b=\frac{1}{2}\cdot2+b=1+b\implies b=\ln(2)-1$$$$\implies y=\frac{1}{2}x+(\ln(2)-1)\quad\text{(Tangente)}$$Die Normale steht senkrecht auf der Tangenten, ihre Steigung ist \(m_n=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2\). Wir setzen wieder die allgemeine Geradengleichung an:$$\ln(2)=y=m_nx+b=-2\cdot2+b=-4+b\implies b=\ln(2)+4$$$$\implies y=-2+(\ln(2)+4)\quad\text{Normale}$$

d) berechnen sie den Steigungswinkel von f im Punkt (e|1)

$$\tan\alpha=f'(x)\implies\tan\alpha=f'(e)=\frac{1}{e}\implies\alpha=\arctan\left(\frac{1}{e}\right)=20,1975^\circ$$