Beweisen : f ist injektiv ⇔ ∀A ∈ P(M): f^(-1)(f(A)) ⊆ A

Question

Aufgabe

Gegeben ist eine Funktion f: M->N

Zu beweisen:

f ist injektiv ⇔ ∀A ∈ P(M): f^(-1)(f(A)) ⊆ A

wobei P(M) die Potenzmenge von M ist und f^(-1) das Urbild von f(A) ist

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass die gegebene Äquivalenz stimmt, nur wie ich den Beweis formal sauber notiere, ist mir nicht klar, für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.

Mit besten Grüßen

neon

Answer 1

Sei f injektiv und A ∈ P(M).

Sei x ∈  f^(-1)(f(A)) ==>  Es gibt ein y∈ f(A) mit f(x) = y

Da y ∈ f(A) ist, ist x ∈ A.

umgekehrt: Seien a,b ∈ M und f(a)=f(b)=y.

Für " f injektiv"  bleibt zu zeigen a=b.

Es ist  {a}  ∈ P(M)  und es sei B =  f({a})

==>    y ∈ B weil f(a)=y .

Und   b ∈  f^(-1)(B) weil  f(b) = y #

wegen f^(-1)(B)  =  f^(-1)(f({a}) )  gilt

wegen ∀A ∈ P(M): f^(-1)(f(A)) ⊆ A

gilt  f^(-1)(B)  =  f^(-1)(f({a}) )  ⊆ {a}

und wegen   #   also b ∈ {a}, somit b=a. q.e.d