Zeigen Sie: ∀a, b ∈ Z gilt 7|2a + b ⇔ 7|100a + b

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: ∀a, b ∈ Z gilt 7|2a + b ⇔ 7|100a + b

Problem/Ansatz:

Wir haben bisher nur ein Beispiel dazu gerechnet und zwar:

13|10a + b                  ⇔ 13|13a + 13b − (10a + b) ⇔ 13|3a + 12b ⇔ 13|3(a + 4b)
 13 und 3 teilerfremd   ⇔ 13|a + 4b.

Nun macht es ja aber kein Sinn mit 7|7a+7b anzufangen, da ich nicht auf 100 am Ende komme.

Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

Liebe Grüße!

Answer 1

Hallo,

wenn \(7|2a+b\), dann muss auch \(7|2a+b+7x\), \(x \in \mathbb Z\) gelten. Und für \(x= 14a \) ist $$7|2a+b \implies 7|2a+b+7x \implies 7|2a+b+98a \implies 7|100a+b$$und rückwärts geht es genauso: \(7|100a+b+7x\) und \(x=-14a\)

Answer 2

100a=7*14a+2a

:-)