Finden Sie eine Folge abgeschlossener Teilmengen, so dass ... nicht abgeschlossen ist.

Question

Seien \( k, n \in \mathbb{N} \) und \( C_{1}, \ldots, C_{k} \) abgeschlossenen Teilmengen von \( \mathbb{R}^{n} . \) Zeigen Sie, dass \( \bigcup_{i=1}^{k} C_{i}\left(=C_{1} \cup \cdots \cup C_{k}\right) \) abgeschlossene Teilmenge des \( \mathbb{R}^{n} \) ist.

Finden Sie eine Folge \( \left(C_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}} \) abgeschlossener Teilmengen \( C_{j} \subseteq \mathbb{R}^{n} \), so dass \( \bigcup_{i=1}^{\infty} C_{i} \) nicht abgeschlossen ist.

ich soll die Gesetze von de Morgan anwenden und eine geeignete abgeschl. Menge Cj wählen ja nur wie finde ich heraus was da geeignet wäre und dannnoch zeigen dass die unendliche Vereinigung von den abgeschl Mengen gerade eine bestimmte offene Menge ist.

Answer 1

Für den ersten Teil kannst du zeigen, dass die Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist. Daraus folgt dann mit Induktion, dass jede endliche Vereinigung von abeschlossen ist.


Zweiter Teil: Wenn du z.B. \(C_j:=\left[\frac{1}{j}, 1\right]\) setzt, dann ist \(C_j\) abgeschlossen für alle \(j\in\mathbb{N}.\)

Trotzdem ist \(\bigcup_{j=1}^\infty C_j=(0,1]\) nicht abgeschlossen.

Comments

ja mein problem ist nur wie zeige ich das?

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Guckst du hier: http://l.hh.de/abgeschlossen

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dankeschön, gegooglet hab ich schon selbst :D aber ich verstehs tatsächlich nich wie mans praktisch umsetzt.lg

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Dann poste mal den Link von einem Beweis, den du dir angeguckt hast, und was du davon nicht verstehst. Dann versuche ich es dir zu erklären.

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danke für dein Angebot also zum Beispiel hier:

http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=18475&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D2%26ved%3D0CDsQFjAB


wir haben es im tutorat ähnlich gemacht aber ich verstehe das prinzip dahinter nicht.

wieso kommen da auf einmal Folgen ins Spiel? Ich schein da irgendwie zu blöod zusein für..