Zeigen Sie dass die folgenden Teilmengen von V UVRäume sind :

Question

Aufgabe

Seien U 1  und U2    UVR eines K - Vektorraums V und sei f : V - > V eine Abbildung mit der Eigenschaft f ( ax + by ) = a f ( x ) + b f ( y ) für alle x , y aus V und alle a , b aus K.

Zeigen Sie dass die folgenden Teilmengen von V UVRäume sind :

a)  U 1  Schnittmenge U 2 = { v aus V | v aus U 1  und v aus U 2 }

b ) U 1 + U 2 = { u1+u2  | u 1 aus U 1 und u 2 aus U 2 }

c ) { f (x) | x aus V }    - Bild

d ) { x aus V | f ( x ) = 0 }   - Kern / Jeder Vektorraum braucht neutrales Element also UVR

Problem/Ansatz:

Ich habe d so argumentieren , dass ein UVR ist, aber bei a, b , c bin ich leider nicht so sicher. Ich würde mich freuen, wenn jemand die drei argumentieren könnte bzw. beweisen könnte.

Answer 1

Bei d reicht das aber auch noch nicht aus: Ein UVR muss abgeschlossen

gegenüber Addition und S_multiplikation sein.

Wenn du also zwei Elemente aus dem Kern hast

a,b ∈ V  mit f(a)=0  und f(b) = 0

==>  f( a+b ) = f(1*a+1*b )

und wegen f ( ax + by ) = a f ( x ) + b f ( y )

=  1*f(a) + 1*f(b) = 1*0 + 1*0 = 0

     also a+b ∈ Kern.

Ähnlich kannst du zeigen: Für alle a∈Kern

und x∈K gilt f(x*a)∈Kern.

Diese Abgeschlossenheitseigenschaften musst

du auch bei den anderen Beispielen untersuchen.

Comments

Ich werde sehr dankbar sein, wenn Sie mir die andere Aufgaben a , b, c ausführliche schreiben würden, denn ich verstehe leider nicht ganz.

Mit freundlichen Grüßen