Differentialgleichung - Lösung - Anfangswertproblem - Ansatz

Question

Gegeben ist die Differentialgleichung
$$ y^{(3)}(x)=-2 y^{\prime \prime}(x)+y^{\prime}(x)+2 y(x)-4 x \mathrm{e}^{-x} $$
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des homogenen Problems.
(b) Berechnen Sie eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung mit einem geschickten Ansatz.
Es sei nun \( y(0)=-1, y^{\prime}(0)=0 \) und \( y^{\prime \prime}(0)=3 \)
(c) Bestimmen Sie eine Lösung des Anfangswertproblems.

hat jemand eine Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen? Wäre froh über einen Lösungsweg

Answer 1

Aloha ;)

a) Allgemeine Lösung des homogenen Systems

Wähle den Exponentialansatz. dann ist$$y_0\propto e^{\lambda x}\quad;\quad y'_0\propto \lambda e^{\lambda x}\quad;\quad y''_0\propto \lambda^2 e^{\lambda x}\quad;\quad y'''_0\propto \lambda^3 e^{\lambda x}$$Eingesetz in die homogene DGL liefert das:$$\left.y_0'''(x)=-2y_0''(x)+y_0'(x)+2y_0(x)\quad\right|\quad\text{einsetzen}$$$$\left.\lambda^3e^{\lambda x}=-2\lambda^2e^{\lambda x}+\lambda e^{\lambda x}+2e^{\lambda x}\quad\right|\quad:\,e^{\lambda x}$$$$\left.\lambda^3=-2\lambda^2+\lambda +2\quad\right|\quad\text{alle Terme nach links}$$$$\left.\lambda^3+2\lambda^2-\lambda-2=0\quad\right|\quad\text{\(\lambda^2\) ausklammern}$$$$\left.\lambda^2(\lambda+2)-(\lambda+2)=0\quad\right|\quad\text{\((\lambda+2)\) ausklammern}$$$$\left.(\lambda+2)(\lambda^2-1)=0\quad\right|\quad\text{3-te binomische Formel}$$$$\left.(\lambda+2)(\lambda+1)(\lambda-1)=0\quad\right.$$Die Nullstellen liefern uns die Exponenten der Lösungen, die wir linear zur allgemeinen homogenen Lösungen kombinieren:$$y_0(x)=Ae^{-2x}+Be^{-x}+Ce^x$$

b) Spezielle Lösung des gestörten Systems

Als Ansatz kommt \(s_0(x)=e^{-x}\cdot a\) nicht in Frage, weil das eine Lösung des homogenen Systems ist. Also habe ich als nächstes \(s_1(x)=e^{-x}\cdot ax\) probiert, hat aber nicht funktioniert. Dann habe ich \(s_2(x)=e^{-x}(ax^2+bx)\) eingesetzt und habe folgende spezielle Lösung gefunden:$$s_2(x)=e^{-x}(x^2-x)$$Die Rechnung hier nochmal abzutippen, habe ich mir gespart. Das ist nur Rumrechnerei ohne wirkliche Info.

c) Lösung zu den Anfangsbedingungen

Die allgemeine Lösung des Systems lautet:$$y(x)=Ae^{-2x}+Be^{-x}+Ce^x+e^{-x}(x^2-x)$$$$\implies y(0)=A+B+C\stackrel!=-1$$$$y'(x)=-2Ae^{-2x}-Be^{-x}+Ce^x+e^{-x}(-x^2+3x-1)$$$$\implies y'(0)=-2A-B+C-1\stackrel!=0$$$$y''(x)=4Ae^{-2x}+Be^{-x}+Ce^x+e^{-x}(x^2-5x+4)$$$$\implies y''(0)=4A+B+C+4\stackrel!=3$$

Das entstandene Gleichungssystem$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\-2 & -1 & 1\\4 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$$hat die Lösung: \(A=0\;;\;B=-1\;;\;C=0\). Die Lösung der DGL unter den gegebenen Anfangsbedingungen lautet also:$$\boxed{y(x)=e^{-x}(x^2-x-1)}$$

Comments

Das lässt sich nur in einem Wort beschreiben. Ehrenmann! Vielen Dank.

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Gerne, aber eine gute Bewertung wäre auch möglich ;)

Ich sitze gerade noch an deiner Matrix-DGL-Aufgabe...

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eine Frage zu a), da hast du das Ergebnis ja so stehen dass die Exponenten vom Vorzeichen her eben wie die Nullstellen sind.
( \(y_0(x)=Ae^{-2x}+Be^{-x}+Ce^x\))

Wir haben das im Skript aber allgemein so stehen:
\(y_h(x) = Ce^{-F(x)}\)

Was bedeuten würde dass die Vorzeichen ja eigentlich vertauscht werden...

Ich gehe davon aus dass ich da was übersehe, wieso bleiben die Vorzeichen denn so bestehen? Braucht es spezielle Bedingungen dass sie vertauscht werden?

Vielen Dank und Gruß

Wolfkinic

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Da kann ich dir nicht viel zu sagen, weil ich eure Vorlesung nicht kenne und daher nicht weiß, wie \(F(x)\) definiert ist. Das Vorzeichen der \(\lambda\) ist durch die Rechnung eindeutig bestimmt, die darf man nicht einfach vertauschen.

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Kurze Frage zur c) Du hast bei dem LGS als Lösung B=-1 raus. Ich verstehe nicht ganz, warum das B dann nicht in der Formel vorkommt. Woran liegt das oder hast du da was vergessen?

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Das \(B\) ist eine Vorfaktor, um die Teillösung \(e^{-x}\) in die Linearkombination der Gesamtlösung einzubinden. In den Formeln taucht das \(B\) auch auf:$$y_0(x)=Ae^{-2x}+\boxed{B}\,e^{-x}+Ce^x$$$$y(x)=Ae^{-2x}+\boxed{B}\,e^{-x}+Ce^x+e^{-x}(x^2-x)$$

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Ja, sorry ich habe mich bissl falsch ausgedrückt. Ich meine warum. Das B nicht in der Endformel der c) vorkommt

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Ah, verstehe...

Als Lösung für das Gleichungssystem haben wir ja \(A=0;B=-1;C=0\) erhalten. Das habe ich entsprechend eingesetzt:

$$y(x)=\underbrace{0}_{=A}\cdot e^{-2x}+\underbrace{(-1)}_{=B}\cdot e^{-x}+\underbrace{0}_{=C}\cdot e^x+e^{-x}(x^2-x)$$Den Beitrage vom \(B\) habe ich in die Klammer gezogen:$$y(x)=\underbrace{-1\cdot e^{-x}}_{=B\text{-Term}}+e^{-x}(x^2-x)$$$$y(x)=e^{-x}\,(x^2-x-1)$$

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Bei der b) komme ich außerdem auf -a=b. Liegt der Fehler bei mir oder hast du einfach einen Wert eingesetzt?

Grüße