Es bezeichne T(n) := {t ∈ N |t teilt n} die Menge aller Teiler der Zahl n ∈ N.

Question

Aufgabe:

Es bezeichne T(n) := {t ∈ N |t teilt n} die Menge aller Teiler der Zahl n ∈ N.
Untersuchen Sie, ob es eine bijektive Abbildung f : T(66) → T(255) mit der Eigenschaft
gibt, dass für alle x, y ∈ T(66) gilt: x | y genau dann, wenn f(x) | f(y). Falls ja, geben Sie
ein solches f an und begründen Sie, dass es die Eigenschaft erf ¨ ullt. Falls nein, beweisen Sie,
dass es keine solche Abbildung gibt.

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst die Zahlen in Primfaktoren zerlegt, jetzt verstehe ich leider nicht, was das bedeuten soll.

"...gilt: x | y genau dann, wenn f(x) | f(y)"

Ich komme bei den Primfaktoren auf T(66) = {2,3,11} und bei T(255) = {3,5,17}.

Answer 1

Beide Teilermengen haben jeweils 8 Elemente, d.h. ohne weitere Bedingungen gibt es eine bijektive Abbildung.

Wenn du jetzt die Hasse-Diagramme zeichnest, stellst du fest, dass sie die gleiche Form haben, nämlich einen dreidimensionalen Würfel.

		66
	/	|	\
6		22		33
|	X		X	|
2		3		11
	\	|	/
		1

255 entsprechend.

Die Abbildung, die Zahlen auf gleichen Positionen einander zuordnet, müsste die gesuchte Abbildung sein.

:-)

Comments

Ok, die Hasse Diagramme verstehe ich.

Die Abbildung, die Zahlen auf gleichen Positionen einander zuordnet, müsste die gesuchte Abbildung sein.

Das verstehe ich dann aber irgendwie nicht ganz.

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Das soll wohl beispielsweise heißen: Wenn die Zahl 11 ein Teiler von 33 ist, dann ist im 255-er Diagramm diejenige Zahl, die dort steht, wo im 66-er Diagramm die 11 steht, im 255-er Diagramm ein Teiler derjenigen Zahl, die dort steht, wo im 66-er Diagramm die 33 steht.

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Ok, also kann ich die beiden Hesse Diagramme aufstellen, die vom Aufbau ja identisch sind und dann mittels Verbindungslinien zeigen, dass es sich um eine Bijektion handelt?

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mittels Verbindungslinien zeigen, dass es sich um eine Bijektion handelt?

Genau so!

:-)

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Ok, geht klar. Vielen Dank!

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mittels Verbindungslinien zeigen, dass es sich um eine Bijektion handelt

Man kann auch die Teilermengen angeben und eine Wertetabelle der passenden Funktion

f: T(66) → T(255) aufschreiben:

T(66) = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}

T(255) = {1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255}

x	1	2	3	6	11	22	33	66
f(x)	1	3	5	15	17	51	85	255

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Ok, aber das zeigt ja erstmal nicht wirklich, dass es sich um eine Bijektion handelt, oder?

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Das ist doch bei endlichen Mengen mit gleicher Elementzahl in solchen Tabellen immer so:

Jedem Element von T(66) wird eindeutig ein anderes Element von T(255) zugeordnet [injektive Funktion] und jedes Element von T(255) hat ein Urbild in T(66) [surjektiv]

x₁, x₂ ∈ T(66) gilt: x₁ | x₂ genau dann, wenn f(x₁) | f(x₂)   

Das muss man natürlich überprüfen (wenn man nicht vorher zwei Hasse-Diagramme gemacht hat :-))

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Ja ok, ich habs verstanden!

Vielen Dank!

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Das muss man natürlich überprüfen (wenn man nicht vorher zwei Hasse-Diagramme gemacht hat :-))

Mit Hasse-Diagrammen ist es auch anschaulich klar, finde ich. Zuerst hatte ich die Bedingung nicht verstanden. Mit den Diagrammen fand ich es logisch, um nicht zu sagen trivial.

;-)

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Mit Hasse-Diagrammen ist es auch anschaulich klar

Dem stimme ich voll zu.

geben Sie ein solches f an

Es ging mir eigentlich nur um die Darstellung der Funktion mit Wertetabelle statt "mittels Verbindungslinien". Nicht um deine Darstellung des Problems mit Hilfe von Hasse-Diagrammen.

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Alles gut.

Ich finde unterschiedliche Herangehensweisen ja auch sinnvoll. Das erweitert den Horizont.