Hallo,
(a) Vervollständigen Sie die folgende Verknüpfungstabelle \(+_6\):$$\begin{array}{c|cccccc}+_6& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline 0& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 1& 2& 3& 4& 5& 0\\ 2& 2& 3& 4& 5& 0& 1\\ 3& 3& 4& 5& 0& 1& 2\\ 4& 4& 5& 0& 1& 2& 3\\ 5& 5& 0& 1& 2& 3& 4\end{array}$$Falls Du nicht weißt, wie die Werte in der Tabelle zustande kommen, bitte nachfragen!
(b) Ist \(\mathbb Z/6 \mathbb Z\) eine abelsche Gruppe bezüglich \(+_6\)? Überprüfen Sie alle Axiome außer (GA).
da ich nicht weiß, welches der Axiome mit (GA) gemeint ist, überprüfen wir alle (-> Abelsche Gruppe):
1.) Assoziativgesetz: \(\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c\) das gilt.
2.) Kommutativgesetz: \(a + b = b + a\) das gilt auch. Deshalb ist die Tabelle oben auch symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
3.) Neutrales Element: \(a+e=a\) Das ist hier \(e=0\). Das erkennt man in der Tabelle daran, dass sich in der ersten Spalte und der ersten Zeile der Tabelle jeweils der von \(0\) verschiedene Operand wiederfindet.
4.) Inverses Element: \(a + a^{-1} = e\) das gibt es auch. Bilde zu jedem Element \(a^{-1} = 6-a\). In der Tabelle taucht in jeder Zeile (bzw. Spalte) einmal das neutrale Element auf.
Also ist \(\mathbb Z/6 \mathbb Z\) eine Abelsche Gruppe bezüglich \(+_6\).
