Rekursive Folge: Monotoniekriterium

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge (an)_n∈N durch a₀ = 2 und a_n+1 = 1/2 (a_n + 2/a_n ).

Ich soll beweisen, dass die Folge durch √2 beschränkt ist und anschließend die Monotonie beweisen.

Problem/Ansatz:

Als Hinweis habe ich erhalten dass a+.b ≥ 2 √a+b.

Vielen Dank!

Answer 1

Beschränktheit geht auch durch vollst. Induktion.

ao≥√2 iat ja klar.

Sei a_n≥√2 , dann ist zu zeigen a_n+1≥√2 , also

                           1/2 (an + 2/an ) ≥ √2

                <=>                 (an + 2/an ) ≥ 2√2 |*an (geht, weil an≥√2>0)

               <=>              a_n^2 + 2   ≥ 2√2a_n
                   <=>              an^2 - 2√2an + 2  ≥ 0

                                    binomi. Formel

                <=>               ( an - √2) ^2  ≥ 0.

                             Und Quadrate sind nie negativ. q.e.d.

Und für die Monotonie: a_n+1-an ≤ 0

                      <=> an+1-( 1/2 (an + 2/an )) ≤ 0

             <=>          an + 2/an ≤    2an

              <=>                2/an ≤    an

                <=>        2 ≤    an^2   (Das wurde gerade bewiesen.)

Comments

Noch eine kurze Frage: Inwiefern beweist

( an - √2) 2  ≥ 0, dass an+1≥√2?

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Wenn man eine Ungleichung äquivalent

umformen kann zu einer, die immer stimmt, dann stimmt auch

die, mit der man angefangen hat.