Umordnungssatz anwenden: S = {s∈ℕ| s = 2^k 5^l : für gewisse k,l>0} = {1,2,4,5,8,10,16,20,25,....}

Question

Es bezeichne S die Menge aller natürlichen Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung nur die Prim-
faktoren 2 und 5 auftauchen, vereinigt mit der Menge {1}, also

S = {s∈ℕ| s = 2^k5^l : für gewisse k,l>0} = {1,2,4,5,8,10,16,20,25,....}

Man zeige, dass ∑1/s konvergiert gegen 5/2.

Tipp: Man bilde das Cauchy-Produkt der beiden geometrischen Reihen mit q₁=1/2 und q₂=1/5 und verwende den großen Umordnungssatz.

 

Ich kann mit dem Tipp nicht wirklich viel anfangen und wollte mal nachfragen, was genau ich hier machen soll.

Comments

Mittlerweile habe ich geschafft zu zeigen, dass die Doppelreihe gegen 5/2 konvergiert. Habe das mit Hilfe der geometrischen Reihe gemacht.

Jedoch weiß ich immer noch nicht, wie ich nun die Konvergenz nachweisen soll. Hat irgendjemand einen Tipp oder ein leichtes Beispiel, sodass ich verstehe, was zu machen ist?

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Ich vermute, dass du nun fertig bist. Du solltest vielleicht noch erwähnen, dass alle Summanden betragsmässig grösser als 0 sind, oder was du sonst noch als Voraussetzung benutzt hast um die Summanden so anzuordnen, dass da eine (vermutlich doppelte) geometrische Reihe draus geworden ist.  Vergleiche das mit den Voraussetzungen für euren 'grossen Umordnungssatz'.