Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, 210 als Produkt von drei Faktoren (ungleich 1) zu schreibe

Question

Aufgabe:

Primfaktorzerlegung, Stirlingzahl

Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, 210 als Produkt von drei Faktoren (ungleich 1) zu schreiben.

210 = m₁ * m₂ * m₃ mit m₁, m₂, m₃ element aller natürlichen Zahlen

Problem/Ansatz:

1. Schritt: Primfaktorzerlegung

210 = 2 * 3 * 5 * 7

{2, 3, 5, 7} -> 4 Elemente

2. Schritt: Stirlingzahl 2. Art

S(4, ?)

Frage: wie bekomme ich den Wert für k heraus?

_____________________________________________________________________

Ähnliche Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, 4620 als Produkt von drei Faktoren (ungleich 1) zu schreiben.
4620 = m1 * m2 * m3 mit m1, m2, m3 element aller natürlichen Zahlen.

4620 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11

6 Elemente

Stirlingzahl: S(6, 4)

Frage: wie kommt man auf die 4? (Aufgabe wurde mit meiner Mathe Prof. gelöst aber ich verstehe nicht woher Sie die 4 herholt)

Comments

ich habe mich verschrieben, richtig wäre: S(6,3) und die 3 wird gewählt weil es sich hierbei um drei Faktoren handelt?

S(4, 3) wäre dann korrekt oder?

---

S(6,3) würde ich ausschließen. Da der Faktor 2 doppelt auftritt.

Schaut man sich also mal die Zahl 12 = 2 * 2 * 3 an dann gibt es hier auch nicht S3,2 = 3 Zerlegungen in 2 Faktoren.

Answer 1

Da die Primfaktorzerlegung

210 = 2 * 3 * 5 * 7

so simpel ist, geht das doch auch ganz einfach: von den drei Faktoren m₁ , m₂ , m₃ müssen offenbar zwei selber Primzahlen sein und der dritte das Produkt aus den 2 übriggebliebenen Primfaktoren.

Für die Auswahl von 2 Elementen aus insgesamt 4 Elementen gibt es

\( \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix} \) = 6  Auswahlmöglichkeiten.

Wir dürfen wohl voraussetzen, dass die Reihenfolge des Notierens der 3 Faktoren keine Rolle spielen soll. Somit kommen wir auf insgesamt 6 mögliche Dreierprodukte mit dem Wert 210 und ganzen Zahlen m_i ≥ 2 als Faktoren. Die gesamte Liste:·

2·3·35

2·5·21

2·7·15

3·5·14

3·7·10

5·7·6