Aloha :)
Wir setzen:$$I(n)\coloneqq\int\limits_0^\infty x^ne^{-\lambda x}dx\quad;\quad\lambda>0$$und führen eine partielle Integration durch:$$I(n)=\int\limits_0^\infty \underbrace{x^n}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-\lambda x}}_{=v'}dx=\left.\underbrace{x^n}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda}}_{=v}\right|_{x=0}^\infty-\int\limits_0^\infty\underbrace{nx^{n-1}}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda}}_{=v}\,dx$$Wenn \(\lambda>0\) ist, verschwindet der erste Term auf der rechten Seite:$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^n\cdot\frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda}\right)=-\frac{1}{\lambda}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x^n}{e^{\lambda x}}\right)=0\quad;\quad 0^n\cdot\frac{e^{-\lambda\cdot0}}{-\lambda}=0$$Wenn \(\lambda<0\) ist, konvergiert der erste Term nicht, sodass das Integral nicht existiert. Damit haben wir:$$I(n)=\frac{n}{\lambda}\int\limits_0^\infty x^{n-1}\,e^{-\lambda x}dx=\frac{n}{\lambda}\cdot I(n-1)$$
Das sieht schon fast wie eine Rekursionsformel aus. Es muss uns nur noch gelingen, einen Startwert zu finden. Versuch macht klug, deswegen probieren wir diesen für \(n=0\) zu berechnen:$$I(0)=\int\limits_0^\infty x^0e^{-\lambda x}dx=\int\limits_0^\infty e^{-\lambda x}dx=\left[\frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda}\right]_{x=0}^\infty\stackrel{(\lambda>0)}{=}\left(0-\left(-\frac{1}{\lambda}\right)\right)=\frac{1}{\lambda}$$
Damit haben wir folgende Rekursionsgleichung erhalten:$$I(n)=\frac{n}{\lambda}\cdot I(n-1)\quad;\quad I(0)=\frac{1}{\lambda}$$Diese lässt sich leicht auflösen:
$$I(n)=\frac{n}{\lambda}\,I(n-1)=\frac{n}{\lambda}\,\frac{n-1}{\lambda}\,I(n-2)=\frac{n}{\lambda}\,\frac{n-1}{\lambda}\,\frac{n-2}{\lambda}\,I(n-3)$$$$\phantom{I(n)}=\frac{n}{\lambda}\,\frac{n-1}{\lambda}\,\frac{n-2}{\lambda}\cdots\frac{1}{\lambda}\, I(0)=\frac{n!}{\lambda^n}\,I(0)=\frac{n!}{\lambda^n}\,\frac{1}{\lambda}=\frac{n!}{\lambda^{n+1}}$$Also haben wir:$$\boxed{I(n)=\frac{n!}{\lambda^{n+1}}}\quad;\quad n\in\mathbb N_0\quad;\quad\lambda>0$$
