Welche Eigenschaft muss die Matrix A haben, damit die Gleichung (A · v)^T = v^T · A für alle reellen 2x1 Matrizen gilt.

Question

Aufgabe:

Welche Eigenschaft muss die Matrix A haben, damit die Gleichung
(A · v)^T = v^T · A

für alle reellen 2x1 Matrizen gilt (Beweis!). Diese Eigenschaft ist eine hinreichende Eigenschaft für die Gültigkeit der Gleichung. Nun zeige, dass die Eigenschaft auch notwendig ist. D.h., erfüllt eine Matrix A diese Eigenschaft nicht, so gibt es einen Vektor v für den die Gleichung nicht erfüllt ist

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leide schon nicht, ob nur v oder auch A eine 2x1 Matrix sein muss. Denn wenn man A beliebig wählen dürfte, könnte ich einfach die Anzahl von Zeilen und Spalten gleich setzen und der Ausdruck würde stimmen, oder nicht?

Answer 1

Wahrscheinlich ist doch \( A\) eine 2x2 Matrix und \( v \) ein 2x1 Vektor. Dann gilt $$ (Av)^T = v^T A^T $$ und wenn das gleich \( v^T A \) sein soll muss gelten \( A^T = A \) also muss \( A \) symmetrisch sein.