Alle reelen Lösung der Gleichung bestimmen

Question

Aufgabe:

\( \sqrt{1 + sin(2x)} \) = 3cos(x) − sin(x)

Problem/Ansatz:

Ich stehe hier leider komplett auf dem Schlauch. Könnte mir jemand erklären wie ich zumindest die Wurzel aus der Gleichung bekomme?

Comments

Könnte mir jemand erklären wie ich zumindest die Wurzel aus der Gleichung bekomme?

Wie wäre es mit quadrieren?

Answer 1

In der Wurzel muß etwas Positives stehen.
Dann ist die linke Seite positiv,
damit es ein Ergebnis gibt muß die rechte Seite auch
positiv sein.
Es darf also quadriert werden.

 1 + sin(2x) = ( 3 * cos(x) - sin(x) ) ^2

Ob dir das hilft weiß ich nicht.

Comments

Die Lösung mit Newton
x = 0.7854
x = 4.7124

Die Werte wiederholen sich.

---

In der Wurzel muß etwas Positives stehen.

Korrigierst du diese falsche Aussage selbst?

Answer 2

Hallo,

Du brauchst mit Sicherheit kein Näherungsverfahren.

√(1 +sin(2x)) =3 cos(x) -sin(x) |(..)^2

1 +sin(2x) = 9 cos^2(x) -6 cos(x) sin(x) +sin^2(x)

Es gilt allgemein:

sin(2x)= 2 sin(x) cos(x)

cos^2(x) +sin^2(x)=1 --------->sin^2(x)= 1-cos^2(x)

--------->

1 + 2 sin(x) cos(x)= 9 cos^2(x) -6 cos(x) sin(x) +sin^2(x) |+6 sin(x) cos(x)

1 + 8 sin(x) cos(x)= 9 cos^2(x) +sin^2(x)

1 + 8 sin(x) cos(x)= 9 cos^2(x) +1-cos^2(x)  |-1

 8 sin(x) cos(x)= 8 cos^2(x)  |: 8

sin(x) cos(x)=  cos^2(x)

sin(x) cos(x)- cos^2(x) =0

cos(x)( sin(x) -cos(x))=0

->Satz vom Nullprodukt

-->a) cos(x)=0 -->x=....

----b) sin(x) -cos(x)=0 -->sin(x)=cos(x) --->1=tan(x) -->x=....

------->Probe nicht vergessen