Ist die Umkehrfunktionen eine Funktion.

Question

Aufgabe:

Der Zusammenhang zwischen x und y wird also durch eine lineare Funktion f mit der

Gleichung y = f(x) = 1,8 x + 32 beschrieben.

2) Berechnen Sie f-1(f(x)) (d. h., setzen Sie im Funktionsterm von f-1 für x den Funktionsterm von f ein und vereinfachen Sie das Ergebnis); berechnen Sie außerdem analog auch f(f-1(x)). Warum muss dieses Ergebnis immer (für jede Funktion und ihre Umkehrfunktion), nicht nur in diesem speziellen Beispiel, so herauskommen?

ist die umkehrte Funktion eine Funktion ?

->wenn nein , wie erhalte ich eine Funktion?

Problem/Ansatz:

Ich konnte nicht genau die umkehrte Funktionen verstehen.

Comments

MontyPython meint vielleicht https://www.mathelounge.de/779174/umkehrfunktionen-funktionsterm-berechnen?show=781825#a781825 Dort kommt aber nur ein Teil der Fragestellung vor.

Answer 1

Um die Umkehrfunktion zu erhalten musst du f(x) nach x auflösen, d.h. hier konkret:

$$ y=f(x)=1,8x+32 \Leftrightarrow y-32=1,8x = \frac{9}{5}x \Leftrightarrow x= \frac{5\cdot(y-32)}{9} $$

Also ist deine Umkehrfunktion gegeben durch

$$ f^{-1}(x)=\frac{5\cdot(x-32)}{9} = \frac{5x-160}{9}$$

Eine Eigenschaft der Umkehrfunktion ist, dass f^-1(f)=f(f^-1)=Id ist, (die Identität), also gilt immer:

$$f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x$$

Also ja, um deine Frage zu beantworten, die Umkehrfunktion ist natürlich immer eine Funktion, sofern sie existiert.

Comments

@xk15: Habe aus deinem Kommentar eine Antwort gemacht. Gründe: 1. Das ist eine Antwort, auf die bei Unklarheiten mit einem Kommentar reagiert werden kann. 2. PontyPhython hat die Frage als Duplikat markiert. D.h. wenn man genügend lange sucht, findet man die Frage bereits auf Mathelounge inkl. Antwort (darauf könnte man dann auch reagieren, mit einer Nachfrage oder auch mit einem "Danke"