Für welches a e R ist f stetig?

Question

Kann mir wer zum vergleich eine Lösung mit Rechenweg dieser Aufgabe zeigen bitte ?

Text erkannt:

Für welche \( a \in \mathbb{R} \) ist \( f \) stetig?
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln (x)-1 & \text { für } x<1 \\ a \mathrm{e}^{x}-4 & \text { für } x \geq 1\end{array}\right. \)

Comments

Vergleich ist ein Nomen.

:-)

Answer 1

Aloha :)

Damit die Funktion steig ist, darf sie an der Stelle \(x=1\) nicht "springen". Wir können in den oberen Term, der für \(x<1\) gilt, den Wert \(x=1\) einsetzen, um den linksseitigen Grenzwert zu bestimmen:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\ln(1)-1=0-1=-1$$Also muss \(f(1)=-1\) gelten, wenn die Funktion stetig sein soll. Das gibt uns eine Bedingung an \(a\):$$-1\stackrel!=f(1)=ae^1-4\implies a\,e=3\implies a=\frac{3}{e}\approx1,1036$$

~plot~ (ln(x)-1)*(x<1)+(3/e*e^x-4)*(x>=1) ; {1|-1} ; [[0|2|-4|4]] ~plot~