Für welches a ist die Funktion stetig?

Question

Aufgabe:

Für \( a \in \mathbb{R} \) sei die Funktion \( f_{a}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch

\( f_{a}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \log (x)+\frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1}, & \text { falls } x>1 \\ \frac{a}{x^{2}+2} & \text { falls } x \leq 1 \end{array}\right. \)

Bestimmen Sie für welche \( a \in \mathbb{R} \) die Funktion \( f_{a} \) stetig ist.

Problem/Ansatz:

In der folgenden Aufgabe soll ich ein a bestimmtes für das die Funktion stetig ist. Ich hätte mir gedacht dass ich die beiden Funktionen gleich stelle und anschließend nach a auflöse. Da ich jedoch in meiner ersten Funktion 0 rausbekomme, bin ich mir unsicher ob ich hier nicht ein anderes Verfahren benutzen müsste.

Vielen Dank im voraus

Answer 1

Stetige Ergänzung für den einen Funktionsteil.

LN(x) + (x^3 + x^2 - x - 1)/(x - 1)
= LN(x) + (x - 1)·(x + 1)^2/(x - 1)
= LN(x) + (x + 1)^2

Nun sollen die Grenzwerte der Funktionwerte an der Stelle 1 übereinstimmen

a/(x^2 + 2) = LN(x) + (x + 1)^2
a/(1^2 + 2) = LN(1) + (1 + 1)^2
a/3 = 4
a = 12

Comments

Verstehe, danke für deine Hilfe :)

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Gern geschehen. Ich hoffe, das hilft dir weiter und du verstehst es. Wenn nicht, lass es mich gern wissen.

Answer 2

Der Grenzwert der 1. Teilfunktion an der Stelle x= 1 ist 4 (nach Polynomdivision und Einsetzen von x=1)

Es muss gelten:

a/(x^2+2) = 4 für a =1

a/3 = 4

a= 12