Vereinfachen Sie den Term. Potenzgesetze anwenden

Question

Aufgabe:

Vereinfachen Sie den Term.

$$ \frac { ({ 15{ x }^{ 2 }{ y }^{ -3 }) }^{ -4 } }{ ({ 25{ x }^{ 3 }{ y }^{ -6 }) }^{ -2 } } $$

Problem/Ansatz:

Im buch steht als lösung

$$ \frac { 1 }{ 81 } *{ x }^{ -2 } $$

Ich habe die Potenzgesetze angewandt, doch komme auf eine Andere lösung.

Wie geht man da am besten Voran.

Answer 1

Aloha :)

Faktoren springen über den Bruchstrich, indem der Exponent sein Vorzeichen wechselt:

$$\frac{(15x^2y^{-3})^{-4}}{(25x^3y^{-6})^{-2}}=\frac{(25x^3y^{-6})^{2}}{(15x^2y^{-3})^{4}}=\frac{25^2x^6y^{-12}}{15^4x^8y^{-12}}=\frac{25^2x^6\cancel{y^{-12}}}{15^4x^8\cancel{y^{-12}}}=\frac{25^2x^6}{15^4\,x^2\cdot x^6}=\frac{25^2\cancel{x^6}}{15^4\,x^2\cdot\cancel{x^6}}$$$$=\frac{(5^2)^2}{(3\cdot5)^4x^2}=\frac{\cancel{5^4}}{3^4\cdot\cancel{5^4}\,x^2}=\frac{1}{3^4x^2}=\frac{1}{81x^2}=\frac{1}{81}\,x^{-2}$$

Comments

Danke sehr,

Springen die faktoren über den Bruchstrich, wegen den Kehrwert oder hat es einen anderen Grund?

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Genau, sie "springen" wegen dem Kehrwert. Da springen sie ja eigentlich auch:$$\frac{1}{a^{-n}}=\frac{a^n}{1}$$Die "Springen-Regel" kann man sehr oft und sehr effizient einsetzen ;)