Lineare Gleichungssysteme Textaufgabe mit 3*4 Matrix

Question

Aufgabe:

Zum Abtransport eines Erdaushubs in der Größe 302m³ stehen 4 LKW mit einer Aufnahmefähigkeit 4m³, 5m³, 6m³ und 7m³ zur Verfügung. Wie oft muss jeder der 4 LKW eingesetzt werden, wenn sie jeweils maximal beladen werden.

Die Summe der Anzahl der Fahrten des 4m³-LKW und des 5m³-LKW soll gleich dem Anzahl der Fahrten des 7m³-LKW sein.

Zudem sollen der 4m³-LKW und der 6m³-LKW zusammen genommen genauso oft fahren wie der 5m³-LKW und der 7m³-LKW.

Problem/Ansatz:

Ich habe folgende Gleichungen aufgestellt.

$$ \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 & |302 \\ 4 & 5 & 0 & -7 & |0 \\ 4 & -5 & 6 & -7 & | 0 \end{pmatrix} $$

Komme aber beim auflösen der Matrix zu keinem Ergebnis. Falls das mit der Matrix unverständlich ist, schreibe ich die Gleichungen gerne nochmal in einer anderen Form auf.

Answer 1

$$\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 & |302 \\ 4 & 5 & 0 & -7 & |0 \\ 4 & -5 & 6 & -7 & | 0 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 & |302 \\ 0& 0 & -6 & -14 & | - 302\\0  & - 10&0  & -14 & | -302\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 & |302 \\ 0& 10 & 0& 14 & | 302\\0  & 0&6  & 14 & | 302\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 & |302 \\ 0& 5 & 0& 7 & | 156\\0  & 0&3  & 7 & | 156\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 4 & 0& 6 & 0 & |156 \\ 0& 5 & 0& 7 & | 156\\0  & 0&3  & 7 & | 156\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 2 & 0& 3 & 0 & |78 \\ 0& 5 & 0& 7 & | 156\\0  & 0&3  & 7 & | 156\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -2 & 0& 0 & 7 & |78 \\ 0& 5 & 0& 7 & | 156\\0  & 0&3  & 7 & | 156\end{pmatrix}$$

mit

$$x_4= 18$$

$$\begin{pmatrix} -2 & 0& 0 &  0& | -48\\ 0& 5 & 0&  & | 30\\0  & 0&3  & 0 & | 30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1& 0& 0 &  0& | 24\\ 0&1  & 0& 0 & | 6\\0  & 0& 1 & 0 & | 10\end{pmatrix}$$

$$x_1=24 ; x_2=6 ; x_3=10 ; x_4=18$$

Answer 2

Deine Matrix für die Gleichungen ist richtig. Das sind drei Gleichungen mit 4 Unbekannten, die sich in diesem Falle zu einer Gleichung mit zwei Unbekannten reduzieren lassen. z,B. 13x₂+11x₄=302. Damit sind viele verschiedene Lösungen möglich.