Geometrische Reihe und Konvergenz

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie das für |x|<1 gilt

1/(1-x)^2 = ∞∑n=0  (n+1)x^n

Problem/Ansatz

Also ich habe erkannt das es eine geometrische Reihe ist und versucht diese auch anzuwenden.

Nach den Rechenregeln für grenzwerte reicht es zu zeigen:

(1-x)^2 lim n->∞ k∑n=0 (n+1)x^n = lim n->∞(1-x)^2 k∑n=0 =1

Dafür schreiben wir

(1-x)^2  k∑n=0 (n+1)x^n = k∑n=0 (1-x)^2 (n+1)x^n

Aber weiter komme ich leider nicht. Könnte ich mit der Teleskopreihe weiter arbeiten?

Answer 1

Aloha :)

Die geometrische Reihe konvergiert für \(|x|<1\):$$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$$Wir leiten nun beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander nach \(x\) ab.

$$\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)$$

Solange wir uns im Konvergenzradius der Potenzreihe aufhalten, was wir wegen \(|x|<1\) tun, können wir die einzelnen Summanden ableiten:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{d}{dx}\left(x^n\right)=\frac{d}{dx}\left(\,(1-x)^{-1}\,\right)$$$$\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}=-(1-x)^{-2}\cdot(-1)=\frac{1}{(1-x)^2}$$Weil der Summand für \(n=0\) verschwindet, können wir die Summe noch anders schreiben:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^{(n+1)-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^{n}$$

Damit haben wir gezeigt:

$$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^{n}\quad;\quad|x|<1$$

Comments

Hi ich danke dir vielmals. Allerdings hatten wir die ableitung nicht. Geht es eventuell auch anders?

LG

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Du kannst das auch mit dem sog. "Cauchy-Produkt" für unendliche Reihen lösen:$$\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^n x^k\cdot x^{n-k}$$$$=\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^n x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n \sum\limits_{k=0}^n1=\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)x^n$$

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Super danke dirrr.

Habe noch eine Frage.

Wie kann ich mit dem Chauchysatz zeigen das für 1/xn wobei xngilt das xn∶=n∑j=0 aj+ 1/aj ist beweisen das sie ekne nullfolge ist.

LG

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Ja genau, die Reihe divergiert.

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Wie kann ich mit dem Chauchysatz zeigen das für 1/xn wobei für xn gilt das xn∶=n∑j=0 aj+ 1/aj ist beweisen das sie eine nullfolge ist.

LG

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Das hat ja mit der ursprünglichen Frage eigentlich nichts mehr zu tun. Daher würde ich dich bitten, einen neuen Thread aufzumachen und diesen hier abzuschließen.

Sonst können andere nicht nach der Frage suchen.