Bestimme alle linearen Abbildungen f : K → K.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper.

1. Bestimme alle linearen Abbildungen f : K → K.

2. Seien a, b ∈ K. Betrachte f : K^2 → K, (x, y) → ax + by. Bestimme eine Basis von
ker f = {(x,y) ∈ K^ 2 | f(x,y) = 0}.            Wann ist f surjektiv?

Problem/Ansatz:

Wäre sehr hilfreich wenn man mir das erklären könnte. Danke im Vorhinein!

Answer 1

linearen Abbildungen f : K → K.

==>   f(a*x) = a*f(x)  für alle a,x ∈ K, also auch

f(x) = f(x*1) = x*f(1).

Und f(1) kann jedes Element von K sein, also folgt hier

schon mal:  Zu jede linearen Abbildungen f : K → K

gibt es ein a∈K mit f(x) = a*x.

Umgekehrt ist für jedes a∈K die Abb. mit f(x) = a*x

eine lineare Abbildung f : K → K.

2. f(x,y) = 0 <=> ax+by = 0

1. Fall: b≠0 dann gilt y = -a/b * x

alle sind alle Elemente im Kern von der Art

                  ( x,   -a/b * x ) = x * ( 1, -a/b )

Also ist { ( 1, -a/b )} eine Basis des Kerns.

2. Fall b=0 dann wird ax+by = 0

                         zu   ax = 0

           1. Fall a≠0 dann folgt x=0 ( und y war ja beliebig) 
                    also sind alle Elemente im Kern von der Art

                            ( 0 , y ) =  y*(0,1)

          Also ist { ( 0, 1 )} eine Basis des Kerns.

            2. Fall a=0 dann gilt   ax = 0, also
                  sind x und y beliebig wählbar, der

                 Kern ist ganz K^2 , also Basis z.B.

                             { ( 0, 1 ) ; ( 1;0) }

Comments

Vielen vielen Dank, aber muss man bei der 1. nicht auch die Additivität zeigen ?

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Schon aus der Homogenität folgt ja das Ergebnis.

ABER: "Umgekehrt ist für jedes a∈K die Abb. mit f(x) = a*x

eine lineare Abbildung f : K → K."  Dazu musst du natürlich beides

zeigen: Hom. und Add.