Bestimme alle linearen Abbildungen

Question

Folgende Aufgabenstellung lässt mich gerade ein wenig verzweifeln:

Wir betrachten V = ℝ² mit $$\vec { { a }_{ 1 } } =(2,1)^{ T }$$ und $$\vec{{a}_{2}}=(3,2)^T$$

(a) Bestimme alle linearen Abbildungen $$\varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\:mit\: \varphi(\vec{{a}_1})=2\vec{{a}_{1}}\:und\:\varphi(\vec{{a}_{2}})=3\vec{{a}_{2}}$$

Nun habe ich angefangen und gesagt, dass a₁ und a₂ eine Basis des ℝ² bilden und ich somit jeden Vektor (x, y)^T als Linearkombination der beiden darstellen kann:

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\lambda_1\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$$

Dieses Gleichungssystem lässt sich lösen zu:

$$\lambda_1=2x-3y$$ und $$\lambda_2=2y-x$$

Nun habe ich diese beiden Werte genommen und eingesetzt da unter der Berücksichtigung der Axiome von linearen Abbildungen gilt: $$\varphi (\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\lambda _{ 1 }\varphi (\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix})+\lambda _{ 2 }\varphi (\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix})$$

Somit komme ich zum Schluss:

$$\varphi(\vec x)=\begin{pmatrix}-x+6y\\-2x+6y\end{pmatrix}$$

Nun stellt sich mir allerdings die Frage ob das die endgültige Lösung ist, da in der Aufgabenstellung alle linearen Abbildungen verlangt werden...

Ausserdem verstehe ich nicht was ich in Aufgabe (b) machen muss:

(b) Stelle zwei eindimensionale Unterräume von V auf, die $$\varphi$$ wieder auf sch selbst abgebildet.

Ich würde mich sehr über Rat freuen da ich im Moment wirklich nicht weiter weiß...

Answer 1

Deine Abbildung ist "alle".  Eine lin. Abb. ist immer durch Angaben der Bilder
einer Basis festgelegt.  Lässt sich leicht beweisen.

und die gesuchten Unterräume werden durch die Vielfachen je eines der
Basisvektoren gebildet,

Comments

Ok, das heisst die (a) wäre damit fertig.

Das heisst bei (b) werden meine Unterräume durch:

$$\lambda\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$$ und

$$\lambda\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$$ aufgespannt??

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aufgespannt werden sie durch die Vektoren allein (also ohne Lambda).

und damit haben sie alle die Form, die du huingeschrieben hast.

Wenn du jetzt phi(   lambda * v ) ausrechnest. gibt das bei dem 1. v

ja gerade  2*lambda*v  ist also auch wieder aus dem durch v aufgespannten

eindimensionalen Raum.

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Ok, macht Sinn! Vielen Dank :)