Folgendes Integral soll berechnet werden:

Question

Aufgabe:

Folgendes Integral soll berechnet werden:

\( \iint_{S} \sin (x)+\cos (y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \quad S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq 2 x, x \in[0, \pi]\right\} \)

Answer 1

Aloha :)

Bei diesem Integral hängt die obere Grenze für \(y\) von \(x\) ab. Daher ist die Integrationsreihenfolge wichtig. Wir müssen zunächst über \(dy\) integrieren und dabei das \(x\) festhalten. Anschließend können wir über \(dx\) integrieren.

$$I=\iint\limits_S(\sin x+\cos y) dS=\int\limits_0^\pi dx\int\limits_0^{2x}(\sin x+\cos y)\,dy$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^\pi dx\left[y\,\sin x+\sin y\right]_{y=0}^{2x}=\int\limits_0^\pi dx\left(2x\,\sin x+\sin2x\right)$$$$\phantom{I}=2\int\limits_0^\pi \underbrace{x}_{=u}\,\underbrace{\sin x}_{=v'}\,dx+\int\limits_0^\pi\sin2x\,dx$$$$\phantom{I}=2\left(\left[\underbrace{x}_{=u}\underbrace{(-\cos x)}_{=v}\right]_0^\pi-\int\limits_0^\pi \underbrace{1}_{=u'}\,\underbrace{(-\cos x)}_{=v}\,dx\right)-\left[\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^\pi$$$$\phantom{I}=2\left(\pi+\left[\sin x\right]_0^\pi\right)-0$$$$\phantom{I}=2\pi$$