Zeigen Sie, dass bijektiver Gruppenhomomorphismus

Question

Aufgabe:

. Seien G und H Gruppen und sei f : G → H
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass f
−1 auch ein
Gruppenhomomorphismus ist. (Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus wird auch Gruppenisomorphismus genannt.)

Problem/Ansatz:

kann einer mir bitte bei dieser aufgabe helfen

ich werde euch sehr dankbar sein :)

Answer 1

Du musst nur zeigen:  Für alle x, y aus H gilt

( sagen wir mal die Verknüpfung in H ist * und in G ist sie + )

f^(-1) ( x*y) = f^(-1)(x) + f^(-1)(y) .

Betrachte dazu x, y aus H und bedenke: Da f bijektiv ist,

gibt es genau ein a und genau ein b ( beide in G ) mit

f(a)=x und f(b) = y  und wegen Hom.  f(a+b)=f(a)*f(b)=x*y

Dann gilt aber  f^(-1) ( x*y) = a+b = f^(-1)(x) + f^(-1)(y) . q.e.d.