Differentialgleichung bijektiver Abbildung

Question

Zeigen Sie, dass \( x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \varphi \mapsto r(\varphi-\sin (\varphi)) \) für festes \( r \) eine bijektive Abbildung definiert, womit \( \varphi(x) \) die Differentialgleichung
$$ 1=\varphi^{\prime}(x) r(1-\cos (\varphi)) $$
erfüllt.

Ich würde mich sehr über Unterstützung freuen!

Answer 1

Hallo,

die Abbildung \( x(\varphi) = r ( \varphi - \sin(\varphi) ) \) ist umkehrbar, weil die erste Ableitung von \( x \) nach \( \varphi \) (*)  positiv und fast überall echt positiv ist. \( x \) ist somit echt monoton steigend.

Leitet man beide Seiten nach \( x \) ab, erhält man

\( 1 = r ( \varphi' - \varphi' \cos(\varphi) ) = r \varphi' (1 - \cos(\varphi)) \).

Hierbei bezeichnet \( \varphi' \) naheliegenderweise die Ableitung von \( \varphi \) nach \( x \) gemäß \( \varphi' = \frac{d \varphi}{dx} \).

Grüße

Mister

(*) \( \frac{dx}{d \varphi} = r ( 1 - \cos(\varphi) ) \geq 0 \)