Anzahl bijektiver Abbild.

Question

Aufgabe:

Hausübung H11 Sei \( \mathcal{M} \) eine \( m \) -elementige und \( \mathcal{N} \) eine \( n \) -elementige Menge (d. h. \( \# \mathcal{M}=m \) und \( \# \mathcal{N}=n \) ). Bestimmen sie die Anzahl an bijektiven Abbildungen \( f: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{N} . \) Unterscheiden Sie dafür die Fälle \( m \neq n \) und \( m=n \)

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathelounge,

Ich habe momentan stark mit der Aufgabe zu kämpfen und verstehe einfach nicht wie ich hier weiter machen soll.

Für die erste Teilaufgabe, in der man die Anzahl bijektiver Abbildungen bestimmen soll, ist es ja klar, dass es genau n! bijektive Abbildungen gibt, jedoch komme ich nicht darauf wie viele bijektive Abbildungen es geben soll, wenn obige Mengen m und n ungleich sind.

Mein Lösungsansatz war, dass man über die Teilmengen geht und die Summe jeder möglichen Teilmenge aufsummiert. Liege ich mit diesem Ansatz falsch oder wie muss hier an die Aufgabe rangegangen werden? Ich hoffe ihr könnt mir helfen...

Beste Grüße

Answer 1

m=n: Anzahl = n(n-1)(n-2)...*1 =n! Möglichkeiten

m>n: Zielmenge zu klein, keine Fkt ist injektiv, also keine bij.

m<n: Zielmenge zu groß, keine Fkt ist surj, also keine bij.

Comments

Sicher das man das so beweisen kann, denn die Aufgabe gibt ehrlich zu viele Punkte, um so gelöst werden zu können.

War der Ansatz über die Teilmengen dann komplett falsch?

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#M soll doch der Betrag von M sein?

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Ja genau m ist der Betrag von M

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So wie die Aufg dasteht, sehe ich keine Fehler.

Wenn es heißen würde: ... Abbildungen f: A⊂M→B⊂N wäre es auch nicht schwerer:

A und B müsste gleichmächtig sei und nichtleer und maximal Min(m,n) Elemente enthalten. Also Anzahl aller bij Funktionen= 1! + 2! +3! + ..(Min(m,n) )!

Das steht aber nicht da.

Guck mal bei Wikipedia "Surj" und "inj" nach, passt.