Berechne t, dass die Länge dieser Strecke minimal wird.

Question

Graphen F(x)=x^2 und G(x)=2×ln(x) schneiden aus der Gerade x=t t>0 eine Strecke heraus. Berechne t, dass die Länge dieser Strecke minimal wird. Gebe minimale Streckenlänge an

Answer 1

d(x) = x^2 - 2·ln(x)

d'(x) = 2·x - 2/x = 0 → x = 1

Die minimale Streckenlänge ist d(1) = 1

Skizze

~plot~ x^2;2*ln(x);x=1 ~plot~

Answer 2

Die Länge ist    L (t) =  t^2 - 2ln(t)

L ' (t) = 2t - 2/t

Das ist 0 für t=1 . und es ist L ' ' (1) = 4 > 0,

also dort ein Minimum .

Die min. Länge ist L(1)= 1