Begründen oder widerlegen Sie.

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen oder widerlegen Sie.

(1) Der Graph der Ableitungsfunktion f' hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse weniger als der Graph der Funktion f.

(2) Die Tangente an den Graphen einer Funktion hat mit dem Grqphen genau einen gemeinsamen Punkt.

(3) Zwei verschiedene Funktionen können nicht die gleiche Ableitungfunktion haben.

(4) Wenn man den Graphen einer Funktion f an der x-Achse spiegelt, so spiegelt sich auch der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion an der x-Achse.

Comments

(1) falsch. Gegenbeispiel: f=e^x=f'=e^x haben beide 0 Schnittpunkte mit der x Achse

(2) falsch

(3) falsch: Gegenbeispiel: f=x^2+1 und g=x^2+2 => f'=2x=g'

(4)wahr. Eine funktion an der x-Achse spiegelt, bedeutet die Funktion mit -1 zu multiplizieren. Wenn du die Funktion nur Ableitest ändert sich ja nichts an dem Vorfaktor -1.

f => f'

-f => f'

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(3) ist doch dann wahr. Denn die Ableitungsfunktionen haben unterschiedliche Verschiebungsparametern (+1 und +2). Dann ergeben sich auch unterschiedliche Funktionsgraphen. Somit stimmt doch das Gegenbeispiel nicht, oder?

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Nein, die Ableitungsfunktionen sind identisch. Die Ausgangsfunktionen haben unterschiedliche Verschiebungsparameter. f=x²+1 und g=x²+2 sind unterschiedliche Funktionen, beim Ableiten verschwindet der konstante Term +1 bzw. +2 jedoch und es bleibt für die Ableitung 2*x für beide Funktionen übrig

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Achso...ok. Wieso ist aber (2) falsch?

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Eine Tangente hat mit einem Graphen mindestens einen Gemeinsamen berühr-Punkt, das ist ja die Definition der Tangente.Die Aussage, dass es "GENAU" ein Punkt ist, ist aber falsch du kannst dir ja einfach mal ein paar Graphen zeichnen dann siehst du ja sofort, dass es oft vorkommt dass du einen weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen hast. So kannst du ganz leicht ein Gegenbeispiel finden.

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Ich gebe dir doch mal ein konkretes Beispiel.

Nimm die Funktion f(x) = x³ jetzt nimm beispielsweise die Tangente im Punkt x=3.

Die Steigung der Tangente bekommst du mit der 1. Ableitung also f'(x)=3x² also ist die Tangentengleichung im Punkt x=1

T = 3x - 2

Wenn du jetzt den Schnittpunkt von dieser Tangente mit den Graphen bildest also f geschnitten mit T => x³ =3x-2 und löst die Gleichung für x dann bekommst du 2 Punkte nämlich x=1 (das wussten wir ja schon) und x=-2.

Das wäre ein formales bzw. nicht graphisches Gegenbeispiel ;)

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Danke für die Mühe, aber ich verstehe nicht, wie man auf die Tangentengleichung kommt. Da ich auch die Tangentengleichung als Thema nicht hatte.

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Das ist ganz einfach und du hattest das mit Sicherheit schon ;) Eine Tangente ist ja einfach eine normale Gerade also hat die Geradenglleichung y=m*x + t mit m für die Steigung und t für den Achsenabschnitt. Für f(x)=x³ hatten wir die 1. Abl. berechnet also f'(x)=3x² und die 1. Ableitung gibt ja genau die Steigung des ursprünglichen Graphens an bzw. die Steigung der Tangente im jeweiligen Punkt x.

Wir wollen jetzt die Tangentengleichung im Punkt x=1 berechnen. x=1 in f(x) eingesetzt ergibt f(1)=1³=1 und die Steigung im Punkt x=1 ist f'(1)=3*1²=3

Unsere berechneten Punkte jetzt in die Geradengleichung y=m*x + t einsetzen:

1 = 3*1 +t <=> t=-2 Nun kennst du den Achsenabschnitt also alles was du brauchst:

=> T = 3x - 2

Ich hoffe jetzt kannst du es nachvollziehen ;)

Answer 1

(1) Der Graph der Ableitungsfunktion f' hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse weniger als der Graph der Funktion f.

falsch

(2) Die Tangente an den Graphen einer Funktion hat mit dem Grqphen genau einen gemeinsamen Punkt.

falsch

(3) Zwei verschiedene Funktionen können nicht die gleiche Ableitungfunktion haben.

falsch

(4) Wenn man den Graphen einer Funktion f an der x-Achse spiegelt, so spiegelt sich auch der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion an der x-Achse.

richtig

Kannst du dir dazu nicht einfach mal ein paar Zeichnungen machen um das zu verdeutlichen?