Allgemeine Berechnung von Punkt C beim gleichschenkligen Dreieck

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man die Koordinate des dritten Punktes C allgemein bei einem gleichschenkligen Dreieck durch die Koordinaten der Punkte A und B, und allen Seitenlängen.

Problem/Ansatz:

Wie stellt man dazu bitte einen allgemeinen Term auf??

Comments

ich brauche das nur für ein kleines Projekt

wäre cool wenn du schreiben könntest, was das für ein Projekt ist

Answer 1

Indem man den A-Koordinaten einen halben AB-Vektor hinzuaddiert und dann einen Vektor der senkrecht dazu ist und eine Länge hat von Wurzel (b² - $\frac{c}{2}$²).

Comments

Also der Mittelpunkt wäre dann: xmid = xa + 0,5*(xb - xa)

ymid = ya + 0,5*(yb - ya)

Aber um dann den Vector mit der Länge Wurzel(b² - (c/2)²)

zu addieren brauche ich doch die x- und y-Werte die ich addieren muss, welche ich ja eigentlich durch das Abziehen zweier Punkte voneinander bekomme. Aber in diesem Fall suche ich ja einen dieser Punkte, wie addiere ich dann einen Vector? Vector-Mathematik ist für mich grundsätzlich total neu, ich brauche das nur für ein kleines Projekt.

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Einen zu AB senkrechten Vektor erhält man in dem man die Komponenten vertauscht und danach die erste mit −1 multipliziert.

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Also angenommen der Vektor AB wäre (5|3), der dazu senkrechte Vektor wäre (-3|5) ? Und ich addiere dann einfach zu den Koordinaten des Mittelpunktes bei x -3 und bei y +5?

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Zuerst machst du den senkrechten Vektor so lang wie der Wurzelausdruck.

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Ah ok danke. Aber wie wandle ich diese Länge des Vektors in seine zwei Komponenten um um diese dann zu tauschen?

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Indem Du die Längenformel für Vektoren verwendest und diese gleich dem Wurzelausdruck setzt.

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Also Wurzel(b² - (c/2)² = Wurzel(x² + y²)

=> b² - (c/2)² = x² + y²

Dann habe ich aber ja immer noch zwei Variablen, x und y

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$\begin{pmatrix} x3\\y3 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} x1\\y1 \end{pmatrix}$ + 1/2 $\begin{pmatrix} x2-x1\\y2-y1 \end{pmatrix}$ ± λ $\begin{pmatrix} -y2+y1\\x2-x1 \end{pmatrix}$

wobei gilt

Länge von [ λ $\begin{pmatrix} -y2+y1\\x2-x1 \end{pmatrix}$ ] = Wurzel(b² - (c/2)²)

Löse die 2. Gleichung nach λ auf und setze das in die 1. Gleichung ein.

Das Plusminus bedeutet, dass es mit Deinen Angaben zwei Lösungen gibt:

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λ = Wurzel(b2 - (c/2)2) / $\begin{pmatrix} -y2+y1\\x2-x1 \end{pmatrix}$

=> $\begin{pmatrix} x3\\y3 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} x1\\y1 \end{pmatrix}$ + 1/2 $\begin{pmatrix} x2-x1\\y2-y1 \end{pmatrix}$ ± (Wurzel(b2 - (c/2)2) / $\begin{pmatrix} -y2+y1\\x2-x1 \end{pmatrix}$) $\begin{pmatrix} -y2+y1\\x2-x1 \end{pmatrix}$

=> $\begin{pmatrix} x3\\y3 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} x1\\y1 \end{pmatrix}$ + 1/2 $\begin{pmatrix} x2-x1\\y2-y1 \end{pmatrix}$ ± (Wurzel(b2 - (c/2)2)

Aber ich verstehe nicht, wie man zu einer Matrix mit zwei Komponenten EINE Länge addieren soll. Also wie addiert man (Wurzel(b2 - (c/2)2) zu $\begin{pmatrix} x1\\y1 \end{pmatrix}$ + 1/2 $\begin{pmatrix} x2-x1\\y2-y1 \end{pmatrix}$ ?

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Du hast bei deiner Rechnung die Funktion "Länge von" aus meinem Kommentar vergessen.

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Bedeutet was genau? Ich hab wie bereits gesagt null Ahnung von Rechnungen mit einer Matrix, es wäre also freundlich mir das Schritt für Schritt zu erklären.

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Da kommen keine Matrizen vor, es sind Vektoren. Gehe zu meinem Kommentar mit dem gespiegelten Dreieck. Dort rechnest Du zeilenweise. Die Koordinate x₃ ist gleich dem was in der oberen Zeile steht, y₃ das in der unteren.

Bleibt das Problem, λ auszurechnen. Das geht so:

λ = Wurzel(b² - (c/2)²)  / Wurzel[(-y₂+y₁)²+(x₂-x₁)²]

Answer 2

Hallo

 1. Bestimme den Mittelpunkt M von AB, und den Vektor AB, einen dazu senkrechten Vektor der Länge √(c²/4+a²) von M antragen bzw. zu M addieren ergibt C.

Gruß lul